Question

在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），點(diǎn)C是線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不運(yùn)動(dòng)至O，A兩點(diǎn)），過點(diǎn)C作CD⊥x軸，垂足為D，以CD為邊作如圖所示的正方形CDEF，連接AF并延長交x軸的正半軸于點(diǎn)B，連接OF，設(shè)OD=t．
（1）tan∠AOB=

 

，tan∠FOB=

 

；
（2）用含t的代數(shù)式表示OB的長；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△BEF與△OFE相似？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)，易求得tan∠AOB=1，則∠AOB=45°，△COD是等腰直角三角形，即CD=OD=DE，因此tan∠FOB=

1

2

．
（2）過A作AM⊥x軸于M，則AM=OM=2，可用t分別表示出OE、ME、EF的長，通過證△BEF∽△BMA，根據(jù)所得比例線段即可求出BE的表達(dá)式，進(jìn)而可得到OB的表達(dá)式．
（3）要分兩種情況進(jìn)行討論：
①∠FOE=∠FBE，此時(shí)△BFE≌△OFE，可得出OE=BE，那么OB=2OE=4OD，再根據(jù)（2）的結(jié)果即可得出t的值；②∠OFE=∠FBE，此時(shí)EF²=OE•BE，據(jù)此可表示出BE的長，而后仿照①的解法求出t的值．

解答：解：（1）1（2分），

1

2

（4分）；

（2）過點(diǎn)A作AM⊥x軸于M，則OM=AM=2；
∵OD=t，
∴OE=2t，ME=2t-2，EF=t；
由于EF∥AM，則有△BEF∽△BMA，得：

BE

BM

=

EF

AM

，即

BE

BE+2t-2

=

t

2

，
解得：BE=

2t2-2t

2-t

，
故OB=OE+BE=2t+

2t2-2t

2-t

=

2t

2-t

．（8分）

（3）本題分兩種情況：
①∠FOE=∠FBE，則有△BFE≌△OFE
∴OE=BE=2t
∴OB=4t=

2t

2-t

，
解得t=

3

2

；
②∠OFE=∠FBE，由于△BFE∽△OFE，可得：
EF²=OE•BE，即t²=2t•BE，
∴BE=

t

2

∴OB=OE+BE=2t+

1

2

t=

5

2

t．
∴OB=

2t

2-t

=

5

2

t，
解得t=

6

5

綜上所述，當(dāng)t=

6

5

或

3

2

時(shí)，△BEF與△OFE相似．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)；要注意的是（3）題中，一定要根據(jù)相似三角形的不同對(duì)應(yīng)邊分類討論，同時(shí)還要注意t的取值范圍，以免造成漏解或多解．