Question

如圖，拋物線經(jīng)過(guò)A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三點(diǎn)．
（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式；
（2）在直線AC上方拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)D，求使△DCA面積最大的點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）x軸上是否存在P點(diǎn)，使得以A、P、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵該拋物線過(guò)點(diǎn)C（0，-2），
∴可設(shè)該拋物線的解析式為y=ax²+bx-2．
將A（4，0），B（1，0）代入，得
，
解得，，
故該二次函數(shù)的解析式為：y=-x²+x-2．

（2）如圖，設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜4），則D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-t²+t-2．
由題意可求得直線AC的解析式為y=x-2．
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，t-2）．
∴DE=-t²+t-2-（t-2）=-t²+2t．
∴S_△DAC=×（-t²+2t）×4=-t²+4t=-（t-2）²+4．
∴當(dāng)t=2時(shí)，△DAC面積最大．
∴D（2，1）．

（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P．
∵A（4，0），C（0，-2），
∴AC=2．
設(shè)P（x，0）．
①當(dāng)AC=PC時(shí)，=2，
解得，x=4（不合題意，舍去）或x=4，
即P₁（4，0）；
②當(dāng)AP=AC時(shí)，|x-4|=2，
解得，x=4+2或x=4-2，即P₂（4-2，0）、P₃（4+2，0）；
③當(dāng)AP=PC時(shí)，|x-4|=，
解得，x=，即P₄（，0）．
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)分別是：P₁（4，0）、P₂（4-2，0）、P₃（4+2，0）、P₄（，0）．
分析：（1）本題需先根據(jù)已知條件“該拋物線經(jīng)過(guò)C點(diǎn)”，設(shè)出該拋物線的解析式為y=ax²+bx-2，再根據(jù)過(guò)A，B兩點(diǎn)，即可得出結(jié)果．
（2）過(guò)D作y軸的平行線交AC于E，將△DCA分割成兩個(gè)三角形△CDE，△ADE，它們的底相同，為DE，高的和為4，就可以表示它們的面積和，即△DCA的面積，運(yùn)用代數(shù)式的變形求最大值．
（3）需要分類討論：當(dāng)AC=PC、AP=AC、AP=PC時(shí)，分別求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線解析式的求法，拋物線與相似三角形的問(wèn)題，坐標(biāo)系里表示三角形的面積及其最大值問(wèn)題，要求會(huì)用字母代替長(zhǎng)度，坐標(biāo)，會(huì)對(duì)代數(shù)式進(jìn)行合理變形．