Question

【題目】如圖，△ABC中，，，，若點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1cm的速度沿折線C→A→B→C運(yùn)動(dòng)(回到C點(diǎn)后點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng))，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒()．

（1）若點(diǎn)P點(diǎn)AB邊上，且滿足時(shí)，求出此時(shí)t的值；

（2）若點(diǎn)P恰好在∠BAC的角平分線上，求出此時(shí)t的值；

（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)△BCP為等腰三角形時(shí)，直接寫出所有滿足條件的t的值．

Answer 1

【答案】（1）6.5s；（2）s；（3）6.5s或6s或5.4s或3s．

【解析】

（1）根據(jù)題意，，，，可得AC=4cm，當(dāng)P點(diǎn)在AB邊上，且滿足時(shí)，則t=4+計(jì)算即可；

（2）當(dāng)點(diǎn)P恰好在∠BAC的角平分線上時(shí)，做PD⊥AB于D，則PD=CP，利用三角形面積，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得；

（3）當(dāng)△BCP為等腰三角形時(shí)，分情況討論：①當(dāng)CP=BP時(shí)；②當(dāng)CB=BP時(shí)；③當(dāng)CP=CB時(shí)，分別計(jì)算即可．

（1）∵，，，

∴根據(jù)勾股數(shù)可知AC=4cm，

∵P點(diǎn)在AB邊上，且滿足時(shí)，

∴PA=AB=cm，

又∵點(diǎn)P的速度是每秒1cm，

∴t=4+=6.5（s）；

故答案為：6.5s；

（2）過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于D，如圖所示，

∵點(diǎn)P恰好在∠BAC的角平分線上，

∴PD=PC，

又t=3+4+5-CP，

由，可得

×3×4=×4×CP+×5×PD，

∴CP=，

∴t=3+4+5-=（s），

故答案為：s；

（3）當(dāng)△BCP為等腰三角形時(shí)，

①當(dāng)CP=BP時(shí)，點(diǎn)P在BC的垂直平分線上，作PD⊥BC于D，如下圖所示：

∴點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，PD是△ABC的中位線，

∴點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，AP=BP=AB=2.5cm，

∴t=6.5s；

②當(dāng)CB=BP時(shí)，點(diǎn)P在AB上，如下圖所示：

∴BP=CB=3cm，

∴t=4+5-3=6（s），

故答案為：6s；

③CP=CB時(shí)，如下圖所示：

點(diǎn)P在AB上，或者點(diǎn)在AC上兩種情況，

若CP=CB時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，

由等面積法求得CE=2.4cm，

在Rt△BEC中，由勾股定理得，

BE=1.8cm，BP=2BE=3.6cm，

∴t=4+5-3.6=5.4（s），

若C=CB時(shí)，則t=C=3s，

故答案為：5.4s或3s；

綜上所述，當(dāng)△BCP為等腰三角形時(shí)，滿足條件的t值為：6.5或6s或5.4s或3s；

故答案為：6.5s或6s或5.4s或3s．