【題目】如圖1,已知拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A(﹣1,0),B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),點(diǎn)P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)設(shè)拋物線的對稱軸為l,l與x軸的交點(diǎn)為D.在直線l上是否存在點(diǎn)M,使得四邊形CDPM是平行四邊形?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(3)如圖2,連接BC,PB,PC,設(shè)△PBC的面積為S.
①求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式;
②求P點(diǎn)到直線BC的距離的最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3.(2)當(dāng)t=2時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,6);當(dāng)t≠2時(shí),不存在,理由見解析;(3)y=﹣x+3;P點(diǎn)到直線BC的距離的最大值為,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,).
【解析】
(1)由點(diǎn)A、B的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達(dá)式;
(2)連接PC,交拋物線對稱軸l于點(diǎn)E,由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可得出對稱軸l為直線x=1,分t=2和t≠2兩種情況考慮:當(dāng)t=2時(shí),由拋物線的對稱性可得出此時(shí)存在點(diǎn)M,使得四邊形CDPM是平行四邊形,再根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)利用平行四邊形的性質(zhì)可求出點(diǎn)P、M的坐標(biāo);當(dāng)t≠2時(shí),不存在,利用平行四邊形對角線互相平分結(jié)合CE≠PE可得出此時(shí)不存在符合題意的點(diǎn)M;
(3)①過點(diǎn)P作PF∥y軸,交BC于點(diǎn)F,由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線BC的解析式,根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)可得出點(diǎn)F的坐標(biāo),進(jìn)而可得出PF的長度,再由三角形的面積公式即可求出S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式;
②利用二次函數(shù)的性質(zhì)找出S的最大值,利用勾股定理可求出線段BC的長度,利用面積法可求出P點(diǎn)到直線BC的距離的最大值,再找出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)即可得出結(jié)論.
(1)將A(﹣1,0)、B(3,0)代入y=﹣x2+bx+c,
得,解得:,
∴拋物線的表達(dá)式為y=﹣x2+2x+3;
(2)在圖1中,連接PC,交拋物線對稱軸l于點(diǎn)E,
∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A(﹣1,0),B(3,0)兩點(diǎn),
∴拋物線的對稱軸為直線x=1,
當(dāng)t=2時(shí),點(diǎn)C、P關(guān)于直線l對稱,此時(shí)存在點(diǎn)M,使得四邊形CDPM是平行四邊形,
∵拋物線的表達(dá)式為y=﹣x2+2x+3,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3),
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,6);
當(dāng)t≠2時(shí),不存在,理由如下:
若四邊形CDPM是平行四邊形,則CE=PE,
∵點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為0,點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為0,
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)t=1×2﹣0=2,
又∵t≠2,
∴不存在;
(3)①在圖2中,過點(diǎn)P作PF∥y軸,交BC于點(diǎn)F.
設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n(m≠0),
將B(3,0)、C(0,3)代入y=mx+n,
得,解得:,
∴直線BC的解析式為y=﹣x+3,
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,﹣t2+2t+3),
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(t,﹣t+3),
∴PF=﹣t2+2t+3﹣(﹣t+3)=﹣t2+3t,
∴S=PFOB=﹣t2+t=﹣(t﹣)2+;
②∵﹣<0,
∴當(dāng)t=時(shí),S取最大值,最大值為.
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),
∴線段BC=,
∴P點(diǎn)到直線BC的距離的最大值為,
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,E,F(xiàn)是對角線BD上的點(diǎn),∠1=∠2.
求證:(1)BE=DF;(2)AF∥CE.
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【題目】拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)),且A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-2,0),(8,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,-4),連接BC,以BC為一邊,點(diǎn)O為對稱中心作菱形BDEC,點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,0),過點(diǎn)P作x軸的垂線L交拋物線于點(diǎn)Q,交BD于點(diǎn)M.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí),試探究m為何值時(shí),四邊形CQMD是平行四邊形?
(3)位于第四象限內(nèi)的拋物線上是否存在點(diǎn)N,使得△BCN的面積最大?若存在,求出N點(diǎn)的坐標(biāo),及△BCN面積的最大值;若不存在,請說明理由.
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【題目】關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、.
(1)求的取值范圍;
(2)求證:<0,<0;
(3)若,求的值.
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【題目】反比例函數(shù)y=(k為常數(shù),且k≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,3)、B(3,m).
(1)求反比例函數(shù)的解析式及B點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)在x軸上找一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小,求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).
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【題目】已知,如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線與直線都經(jīng)過點(diǎn).
(1)求與的值;
(2)此雙曲線又經(jīng)過點(diǎn),點(diǎn)是軸的負(fù)半軸上的一點(diǎn),且點(diǎn)到軸的距離是2 ,聯(lián)結(jié)、、,
①求的面積;
②點(diǎn)在軸上,為等腰三角形,請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo).
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【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,CD是⊙O的直徑,AB與CD交于點(diǎn)E,點(diǎn)P是CD延長線上的一點(diǎn),AP=AC,且∠B=2∠P.
(1)求證:∠B=2∠PCA.
(2)求證:PA是⊙O的切線;
(3)若點(diǎn)B位于直徑CD的下方,且CD平分∠ACB,試判斷此時(shí)AE與BE的大小關(guān)系,并說明由.
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【題目】為了迎接五一黃金周的購物高峰,某品牌專賣店準(zhǔn)備購進(jìn)甲、乙兩種運(yùn)動(dòng)鞋.其中甲、乙兩種運(yùn)動(dòng)鞋的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表:
運(yùn)動(dòng)鞋價(jià)格 | 甲 | 乙 |
進(jìn)價(jià)(元/雙) | m | m﹣30 |
售價(jià)(元/雙) | 240 | 160 |
已知:用3000元購進(jìn)甲種運(yùn)動(dòng)鞋的數(shù)量與用2400元購進(jìn)乙種運(yùn)動(dòng)鞋的數(shù)量相同.
(1)求m的值;
(2)若購進(jìn)乙種運(yùn)動(dòng)鞋x(雙),要使購進(jìn)的甲、乙兩種運(yùn)動(dòng)鞋共200雙的總利潤(利潤=售價(jià)﹣進(jìn)價(jià))不少于13000元且不超過13500元,問該專賣店有幾種進(jìn)貨方案;
(3)在(2)的條件下求出總利潤y(元)與購進(jìn)乙種運(yùn)動(dòng)鞋x(雙)的函數(shù)關(guān)系式,并用關(guān)系式說明哪種方案的利潤最大,最大利潤是多少.
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