Question

已知：拋物線y＝－x²－(m＋3)x＋m²－12與x軸交于A(x₁，0)、B(x₂，0)兩點，且x₁＜0，x₂＞0，拋物線與y軸交于點C，OB＝2OA．

(1)求拋物線的解析式；

(2)在x軸上，點A的左側，求一點E，使△ECO與⊙CAO相似，并說明直線EC經(jīng)過(1)中拋物線的頂點D；

(3)過(2)中的點E的直線y＝x＋b與(1)中的拋物線相交于M、N兩點，分別過M、N作x軸的垂線，垂足為、，點P為線段MN上一點，點P的橫坐標為t，過點P作平行于y軸的直線交(1)中所求拋物線于點Q．是否存在t值，使S_{梯形MM＇NN＇}：S_△QMN＝35∶12，若存在，求出滿足條件的t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵x1＜0，x2＞0，∴OA＝－x1，OB＝x2，∵x1，x2是方程－x2－(m＋3)x＋m2－12＝0的兩個實數(shù)根，由根與系數(shù)關系得：x1＋x2＝－2(m＋3)①，x1·x2＝－2(m2－12)②，又x2＝－2x1③，聯(lián)立，整理，得m2＋8m＋16＝0，解的m1＝m2＝－4，∴拋物線的解析式為y＝－x2＋x＋4; 　　(2)設點E(x，0)，則OE＝－x，∵△ECO與△CAO相似，∴＝，∴＝，∴x＝－8，∴點E(－8，0)設過E、C兩點的直線解析式為y＝x＋，由題意得，解得，所以直線CE的解析式y＝x＋4，∵拋物線的頂點D(1，)，當x＝1時，y＝，∴點D在直線EC上; 　　(3)存在t值，使S梯形MM′N′N∶S△QMN＝35∶12．∵E(－8，0)，∴0＝×(－8)＋b，∴b＝2，∴y＝x＋2，∴x＝4(y－2)，∴y＝－×[4(y－2)]2＋4(y＋2)＋4，整理得8y2－35y＋6＝0，設M(xm，ym)、N(xn，yn)，∴M＝ym，N＝yn，∴ym、yn是方程8y2－35y＋36＝0的兩個實數(shù)根，∴ym＋yn＝，∴S梯形MN＝(ym＋yn)(xn－xm)，∵點P在直線y＝x＋2，點Q在(1)中拋物線上，∴點P(t，t＋2)、點Q(t，－t2＋t＋4)，∴PQ＝－t2＋t＋4－t＋2＝－t2＋t＋2，分別過M、N作直線PQ的垂線，垂足為G、H，則GM＝t－xm，NH＝xn－t，∴S△QMN＝S△QMP＋S△QNP＝PQ(xn－xm)，∵S梯形MM＇NN＇：S△QMN＝35∶12∴＝∴＝(－t2＋t＋2)，整理，得2t2－3t－2＝0，解得t1＝，t2＝2，∴當t＝或t＝2時，S梯形MM＇NN＇：S△QMN＝35∶12