Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，b）（b＞0）．P是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PC⊥x軸，垂足為C．記點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為P´（點(diǎn)P´不在y軸上），連接PP´，P´A，P´C．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a．

 

 

 

 

 

 

 

 

（1）當(dāng)b=3時(shí)，

①求直線AB的解析式；

②若點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（﹣1，m），求m的值；

（2）若點(diǎn)P在第一象限，記直線AB與P´C的交點(diǎn)為D．當(dāng)P´D：DC=1：3時(shí)，求a的值；

（3）是否同時(shí)存在a，b，使△P´CA為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的a，b的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）①y=x+3②（2）（3）或

【解析】解：（1）①設(shè)直線AB的解析式為y=kx+3，

把x=﹣4，y=0代入得：﹣4k+3=0，

∴k=，

∴直線的解析式是：y=x+3， ……3分 

②由已知得點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，m），

∴m=×1+3=；  ……4分 

（2）∵PP′∥AC，

△PP′D∽△ACD，

∴=，即=，

∴a=；   ……6分 

（3）以下分三種情況討論．

①當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，

1）若∠AP′C=90°，P′A=P′C（如圖1）

過(guò)點(diǎn)P′作P′H⊥x軸于點(diǎn)H．

∴PP′=CH=AH=P′H=AC．

∴2a=（a+4）

∴a=

∵P′H=PC=AC，△ACP∽△AOB 

∴==，即=，

∴b=2                   ……8分 

2）若∠P′AC=90°，P′A=CA  （如圖2）

則PP′=AC

∴2a=a+4

∴a=4

∵P′A=PC=AC，△ACP∽△AOB

∴==1，即=1

∴b=4          ……10分 

3）若∠P′CA=90°，

則點(diǎn)P′，P都在第一象限內(nèi)，這與條件矛盾．

∴△P′CA不可能是以C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．

②當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，∠P′CA為鈍角（如圖3），此時(shí)△P′CA不可能是等腰直角三角形；

③當(dāng)P在第三象限時(shí)，∠P′CA為鈍角（如圖4），此時(shí)△P′CA不可能是等腰直角三角形．

∴所有滿足條件的a，b的值為

或      ……12分 

（1）利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；

（2）把（-1，m）代入函數(shù)解析式即可求得m的值；可以證明△PP′D∽△ACD，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可求解；

（3）點(diǎn)P在第一像限，若使△P'CA為等腰直角三角則∠AP′C=90°或∠P′AC=90°或∠P′CA=90°就三種情況分別討論求出出所有滿足要求的a的值即可．