Question

5．某居民樓緊挨一座山坡AB，經(jīng)過地質(zhì)人員勘測，當坡度不超過45°時，可以確保山體不滑坡，如圖所示，已知AE∥BD，斜坡AB的坡角∠ABD=60°，．為防止滑坡，現(xiàn)對山坡進行改造，改造后，斜坡BC與地面BD成45°角，AC=20米．求斜坡BC的長是多少米？（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{2}$≈1.41，$\sqrt{3}$≈1.73）

Answer 1

分析 根據(jù)題意可以運用銳角三角函數(shù)表示出BC的長，從而可以解答本題．

解答 解：作AM⊥BD于點M，作CN⊥BD于點N，如右圖所示，
∵∠ABD=60°，∠CBD=45°，
∴BN=$\frac{CN}{tan45°}$，BM=$\frac{AM}{tan60°}$，BC=$\frac{CN}{sin45°}$，
∵CN=AM，AC=BN-BM，AC=20米，
∴BC=$\frac{\frac{20}{\frac{1}{tan45°}-\frac{1}{tan60°}}}{sin45°}$=$\frac{\frac{20}{\frac{1}{1}-\frac{1}{\sqrt{3}}}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{20}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}}×\sqrt{2}$=$\frac{20\sqrt{6}}{\sqrt{3}-1}$=10$\sqrt{6}$（$\sqrt{3}+1$）=$30\sqrt{2}+10\sqrt{6}$≈66.7米，
即斜坡BC的長是66.7米．

點評 本題考查解直角三角形的應用-坡度坡角問題，解題的關鍵是明確題意，利用銳角三角函數(shù)和數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．