Question

10．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的圓O交BC于點D，交AC于點E，過點D作DF⊥AC，垂足為F．
（1）求證：DF為⊙O的切線；
（2）若過點A且與BC平行的直線交BE延長線于點G，連接CG，設⊙O半徑為5．
①當CF=$\frac{5}{2}$時，四邊形ABCG是菱形；
②當BC=4$\sqrt{5}$時，四邊形ABCG的面積是100．

Answer 1

分析 （1）連結AD，OD，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到∠ADB=90°，再根據(jù)等腰三角形的性質得BD=DC，則OD為△ABC的中位線，所以OD∥AC，而DF⊥AC，
則DF⊥OD，所以可判斷DF是⊙O的切線；
（2）①根據(jù)等腰三角形的性質得到BD=DC，根據(jù)菱形的性質得到，AD=BC，推出△ABC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質得到CD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB=5，∠ACB=60°，根據(jù)直角三角形的性質得到CF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{5}{2}$，即可得到結論；
②根據(jù)等腰三角形的性質得到BD=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{5}$，根據(jù)勾股定理得到AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，根據(jù)圓周角定理得到∠AEB=∠ADB=90°，推出△ACD∽△BCE，根據(jù)相似三角形的性質列方程得到CE=4，BE=8，再通過△AGE∽△BCE，得到EG=12，于是得到結論．

解答 （1）證明：連結AD，OD，如圖，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵△ABC是等腰三角形，
∴BD=DC，
又∵AO=BO，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切線；

（2）解：①∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵△ABC是等腰三角形，
∴BD=DC，
又∵AO=BO=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴AB=10，
若四邊形ABCG是菱形，
則AD=BC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB=5，∠ACB=60°，
∵DF⊥AC，
∴CF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{5}{2}$，
∴當CF=$\frac{5}{2}$時，四邊形ABCG是菱形；
故答案為：$\frac{5}{2}$；
②∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{5}$，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=∠ADB=90°，
∴∠ADC=90°，
∵∠ACB=∠ACB，
∴△ACD∽△BCE，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{CE}$=$\frac{AD}{BE}$，即$\frac{10}{4\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{CE}$=$\frac{4\sqrt{5}}{BE}$，
∴CE=4，BE=8，
∴AE=AC-CE=6，
∵AG∥BC，
∴△AGE∽△BCE，
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{GE}{BE}$，即$\frac{6}{4}=\frac{EG}{8}$，
∴EG=12，
∴四邊形ABCG的面積=S_△ABC+S_△ACG=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{5}$×4$\sqrt{5}$+$\frac{1}{2}$×10×12=100．
故答案為：100．

點評 本題考查了切線的判定定理，相似三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，等邊三角形的判定和性質，菱形的性質，勾股定理，證得△ACD∽△BCE是解答（3）小題的關鍵．