Question

已知實數(shù)a、b、c，且b≠0．若實數(shù)x₁、x₂、y₁、y₂滿足x₁²+ax₂²=b，x₂y₁-x₁y₂=a，x₁y₁+ax₂y₂=c，則y₁²+ay₂²的值為

a3+c2

b

．

Answer 1

分析：∵x₁²+ax₂²=b①，x₂y₁-x₁y₂=a②，x₁y₁+ax₂y₂=c③．首先將第②、③組合成一個方程組，變形把x₁、x₂表示出來，在講將x₁、x₂的值代入①，通過化簡就可以求出結(jié)論．

解答：解：∵x₁²+ax₂²=b①，x₂y₁-x₁y₂=a②，x₁y₁+ax₂y₂=c③．
由②，得
x2=

a+x1y2

y1

④，
把④代入③，得
x1=

cy1-a2y2

y 2 1 +a y 2 2

⑤
把⑤代入③，得
x2=

ay1+cy2

y 2 1 +a y 2 2

⑥
把⑤、⑥代入①，得
(

cy1-a2y2

y 2 1 +a y 2 2

)2+a(

ay1+cy2

y 2 1 +a y 2 2

)2=b
∴

(a3+c2) y 1 2 +(a3+c2) ay 2 2

( y 2 1 +a y 2 2 )2

=b，
∴（a³+c²）（y₁²+ay₂²）=b（y₁²+ay₂²）²
∴y₁²+ay₂²=

a3+c2

b

．
故答案為：

a3+c2

b

點評：本題是一道代數(shù)式的轉(zhuǎn)化問題，考查了對稱式和輪換對稱式在代數(shù)式求值過程中的運用．