Question

【題目】如圖，拋物線的圖象與x軸交于A（﹣1.0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），頂點(diǎn)為D．

（1）求此拋物線的解析式．

（2）求此拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)和對稱軸．

（3）探究對稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、D、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）D的坐標(biāo)是（1，﹣4），對稱軸是直線x=1；（3）P（1， ）或（1， ）或（1， ）或（1，4）．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)拋物線的圖象與x軸交于A（﹣1.0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），可以求得拋物線的解析式；

（2）根據(jù)（1）中的解析式化為頂點(diǎn)式，即可得到此拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)和對稱軸；

（3）首先寫出存在，然后運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想分別求出各種情況下點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

試題解析：（1）∵拋物線的圖象與x軸交于A（﹣1.0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），∴，解得： ，即此拋物線的解析式是；

（2）∵=，∴此拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，﹣4），對稱軸是直線x=1；

（3）存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、D、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，y），分三種情況討論：

①當(dāng)PA=PD時(shí)=，解得，y=，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1， ）；

②當(dāng)DA=DP時(shí)， =，解得，y=，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1， ）或（1， ）；

③當(dāng)AD=AP時(shí)， =，解得，y=±4，即點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，4）或（1，﹣4），當(dāng)點(diǎn)P為（1，﹣4）時(shí)與點(diǎn)D重合，故不符合題意．

由上可得，以點(diǎn)P、D、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1， ）或（1， ）或（1， ）或（1，4）．