Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C. 拋物線經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)B(點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)).

1.求拋物線的解析式及點(diǎn)B坐標(biāo)；

2.若點(diǎn)M是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M的直線EF平行y軸交軸于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)E.求ME長的最大值；

3.試探究當(dāng)ME取最大值時(shí)，在拋物線x軸下方是否存在點(diǎn)P，使以M、F、B、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由.

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

1.拋物線的解析式是：           

2.ME的最大值＝

3.不存在.

【解析】.解：(1) 當(dāng)y＝0時(shí)，    ∴A(－1, 0)

當(dāng)x＝0時(shí)，      ∴  C(0,－3)        

∴    ∴

拋物線的解析式是：                          

   當(dāng)y＝0時(shí)，

解得： x₁＝－1  x₂＝3  ∴ B(3, 0)  

（2）由（1）知 B(3, 0) ， C(0,－3)  直線BC的解析式是：  

     設(shè)M（x,x-3）(0≤x≤3),則E（x,x²-2x-3）

    ∴ME=(x-3)-( x²-2x-3)=- x²+3x =          

      ∴當(dāng) 時(shí)，ME的最大值＝                     

（3）答：不存在.                                      

由（2）知 ME 取最大值時(shí)ME＝  ，E，M

 ∴MF＝，BF=OB-OF=. 

設(shè)在拋物線x軸下方存在點(diǎn)P，使以P、M、F、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

則BP∥MF，BF∥PM. ∴P₁ 或 P₂          

當(dāng)P₁ 時(shí)，由（1）知                       

∴P₁不在拋物線上.                                     

當(dāng)P₂ 時(shí)，由（1）知                        

∴P₁不在拋物線上.                                       

綜上所述：拋物線x軸下方不存在點(diǎn)P，使以P、M、F、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.