點(diǎn)M是四邊形ABCD的邊BC的中點(diǎn)，∠AMD=120°．
求證：AB+數(shù)學(xué)公式+CD≥AD．

證明：如圖，作出點(diǎn)B關(guān)于AM的對(duì)稱點(diǎn)B′，點(diǎn)C關(guān)于MD的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接AB′、B′C′、C′D、B′M、C′M，
根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得AB′=AB，BM=B′M，CM=C′M，C′D=CD，∠AMB=AMB′，∠DMC=∠DMC′，
∵∠AMD=120°，
∴AMB+∠DMC=180°-∠AMD=180°-120°=60°，
∴∠B′MC′=∠AMD-（∠AMB′+∠DMC′）=120°-60°=60°，
∵點(diǎn)M是四邊形ABCD的邊BC的中點(diǎn)，
∴BM=CM，
∴B′M=C′M，
∴△B′C′M是等邊三角形，
∴B′C′=BC，
所有，①當(dāng)點(diǎn)B′、C′在AD上時(shí)，AB+BC+CD=AD，
②當(dāng)點(diǎn)B′、C′不在AD上時(shí)，根據(jù)連接兩點(diǎn)的所有線中，線段最短，AB+BC+CD＞AD，
綜上，AB+BC+CD≥AD．
分析：根據(jù)對(duì)稱性，作出點(diǎn)B關(guān)于AM的對(duì)稱點(diǎn)B′，點(diǎn)C關(guān)于MD的對(duì)稱點(diǎn)C′，再連接AB′、B′C′、C′D、B′M、C′M，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)以及∠AMD=120°可以證明△B′C′M是等邊三角形，然后根據(jù)連接兩點(diǎn)的所有線中，線段最短證明．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，兩點(diǎn)間線段最短的性質(zhì)，作出對(duì)稱點(diǎn)構(gòu)造出圖形更形象直觀，注意證明得到△B′C′M是等邊三角形非常關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，點(diǎn)E是四邊形ABCD的對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，且∠BAC=∠BDC=∠DAE．
（1）試說(shuō)明：BE•AD=CD•AE；
（2）根據(jù)圖形的特點(diǎn)，猜想
BCDE
可能等于哪兩條線段的比？并說(shuō)明你的猜想是正確的．（注：只需寫(xiě)出圖中已知線段的一組比即可）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

25、定義：到凸四邊形一組對(duì)邊距離相等，到另一組對(duì)邊距離也相等的點(diǎn)叫凸四邊形的準(zhǔn)內(nèi)心．如圖1，PH=PJ，PI=PG，則點(diǎn)P就是四邊形ABCD的準(zhǔn)內(nèi)心．
（1）如圖2，∠AFD與∠DEC的角平分線FP，EP相交于點(diǎn)P．求證：點(diǎn)P是四邊形ABCD的準(zhǔn)內(nèi)心．
（2）分別畫(huà)出圖3平行四邊形和圖4梯形的準(zhǔn)內(nèi)心．（作圖工具不限，不寫(xiě)作法，但要有必要的說(shuō)明）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•六盤(pán)水）（1）觀察發(fā)現(xiàn)
   如圖（1）：若點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)，在直線m上找一點(diǎn)P，使AP+BP的值最小，做法如下：
   作點(diǎn)B關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，與直線m的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，線段AB′的長(zhǎng)度即為AP+BP的最小值．

   如圖（2）：在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一點(diǎn)P，使BP+PE的值最小，做法如下：
作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，故BP+PE的最小值為
3
3
．
 （2）實(shí)踐運(yùn)用
   如圖（3）：已知⊙O的直徑CD為2，
AC
的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是
AC 
的中點(diǎn)，在直徑CD上作出點(diǎn)P，使BP+AP的值最小，則BP+AP的值最小，則BP+AP的最小值為
2
2
．

  （3）拓展延伸
如圖（4）：點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，分別在邊AB、BC上作出點(diǎn)M，點(diǎn)N，使PM+PN+MN的值最小，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如果四邊形一條對(duì)角線所在直線上有一點(diǎn)，它到這條對(duì)角線的兩端點(diǎn)的距離不相等，但到另一對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，則稱這個(gè)點(diǎn)為這個(gè)四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn)．
（1）正方形ABCD的對(duì)角線AC上有沒(méi)有準(zhǔn)等距點(diǎn)？請(qǐng)簡(jiǎn)單說(shuō)明理由；
（2）請(qǐng)回答長(zhǎng)方形（正方形除外）、菱形、等腰梯形的準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)（不必證明）；
（3）如圖所示，在四邊形ABCD中，P是AC上的點(diǎn)，PA≠PC，延長(zhǎng)BP交CD于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DP交BC于點(diǎn)F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF，證明點(diǎn)P是四邊形ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，點(diǎn)O是四邊形ABCD與A′B′C′D′的位似中心，則
 
=
 
=
 
；∠ABC=
 
，∠OC′B′=
 
．

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