Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與直線y= x+2交于C、D兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3， ）．點(diǎn)P是y軸右側(cè)的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)m為何值時(shí)，以O(shè)、C、P、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？請說明理由．
（3）若存在點(diǎn)P，使∠PCF=45°，請直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在直線解析式y(tǒng)= x+2中，令x=0，得y=2，

∴C（0，2）．

∵點(diǎn)C（0，2）、D（3， ）在拋物線y=﹣x2+bx+c上，

∴ ，

解得b= ，c=2，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+ x+2

（2）

解：∵PF∥OC，且以O(shè)、C、P、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

∴PF=OC=2，

∴將直線y= x+2沿y軸向上、下平移2個(gè)單位之后得到的直線，與拋物線y軸右側(cè)的交點(diǎn)，即為所求之交點(diǎn)．

由答圖1可以直觀地看出，這樣的交點(diǎn)有3個(gè)．

將直線y= x+2沿y軸向上平移2個(gè)單位，得到直線y= x+4，

聯(lián)立 ，

解得x1=1，x2=2，

∴m1=1，m2=2；

將直線y= x+2沿y軸向下平移2個(gè)單位，得到直線y= x，

聯(lián)立 ，

解得x3= ，x4= （在y軸左側(cè)，不合題意，舍去），

∴m3= ．

∴當(dāng)m為值為1，2或 時(shí)，以O(shè)、C、P、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形

（3）

解：存在．

理由：設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則P（m，﹣m2+ m+2），F(xiàn)（m， m+2）．

如答圖2所示，過點(diǎn)C作CM⊥PE于點(diǎn)M，則CM=m，EM=2，

∴FM=yF﹣EM= m，

∴tan∠CFM=2．

在Rt△CFM中，由勾股定理得：CF= m．

過點(diǎn)P作PN⊥CD于點(diǎn)N，

則PN=FNtan∠PFN=FNtan∠CFM=2FN．

∵∠PCF=45°，

∴PN=CN，

而PN=2FN，

∴FN=CF= m，PN=2FN= m，

在Rt△PFN中，由勾股定理得：PF= = m．

∵PF=yP﹣yF=（﹣m2+ m+2）﹣（ m+2）=﹣m2+3m，

∴﹣m2+3m= m，

整理得：m2﹣ m=0，

解得m=0（舍去）或m= ，

∴P（ ， ）；

同理求得，另一點(diǎn)為P（ ， ）．

∴符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ， ）或（ ， ）．

【解析】（1）首先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）本問采用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想求解．將直線y= x+2沿y軸向上或向下平移2個(gè)單位之后得到的直線，與拋物線y軸右側(cè)的交點(diǎn)，即為所求之交點(diǎn)．由答圖1可以直觀地看出，這樣的交點(diǎn)有3個(gè)．聯(lián)立解析式解方程組，即可求出m的值；（3）本問符合條件的點(diǎn)P有2個(gè)，如答圖2所示，注意不要漏解．在求點(diǎn)P坐標(biāo)的時(shí)候，需要充分挖掘已知條件，構(gòu)造直角三角形或相似三角形，解方程求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．