Question

【題目】如圖，拋物線的圖象與軸交于、兩點（點在點的左邊），與軸交于點，，點為拋物線的頂點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點為線段上一點（點不與點、重合），過點作軸的垂線，與直線交于點，與拋物線交于點，過點作交拋物線于點，過點作軸于點，可得矩形，如圖1，點在點左邊，當矩形的周長最大時，求的值，并求出此時的的面積；

（3）已知，點在拋物線上，連，直線，垂足為，若，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x22x＋3（2）m＝2，S△AEM=（3）（，）或（，）．

【解析】

（1）根據(jù)拋物線y＝ax2＋2ax＋c，可得C（0，c），對稱軸為x1，再根據(jù)OC＝OA，AB＝4，可得A（3，0），最后代入拋物線y＝ax2＋2ax＋3，得拋物線的解析式為y＝x22x＋3；

（2）根據(jù)點M（m，0），可得矩形PQNM中，P（m，m22m＋3），Q（2m，m22m＋3），再根據(jù)矩形PQNM的周長＝2（PM＋PQ）＝2（m＋2）2＋10，可得當m＝2時，矩形PQNM的周長有最大值10，M的坐標為（2，0），最后由直線AC為y＝x＋3，AM＝1，求得E（2，1），ME＝1，據(jù)此求得△AEM的面積；

（3）連接CB并延長，交直線HG與Q，根據(jù)已知條件證明BC＝BF＝BQ，再根據(jù)C（0，3），B（1，0），得出Q（2，3），根據(jù)H（0，1），求得QH的解析式為y＝x1，聯(lián)立得到方程組，可解得點G的坐標．

（1）由拋物線y＝ax2＋2ax＋c，可得C（0，c），對稱軸為x＝＝1，

∵OC＝OA，

∴A（c，0），B（2＋c，0），

∵AB＝4，

∴2＋c（c）＝4，

∴c＝3，

∴A（3，0），

代入拋物線y＝ax2＋2ax＋3，得

0＝9a6a＋3，

解得a＝1，

∴拋物線的解析式為y＝x22x＋3；

（2）如圖1，∵M（m，0），PM⊥x軸，

∴P（m，m22m＋3），

又∵對稱軸為x＝1，PQ∥AB，

∴Q（2m，m22m＋3），

又∵QN⊥x軸，

∴矩形PQNM的周長

＝2（PM＋PQ）

＝2[（m22m＋3）＋（2mm）]

＝2（m24m＋1）

＝2（m＋2）2＋10，

∴當m＝2時，矩形PQNM的周長有最大值10，

此時，M（2，0），

設直線AC的解析式為y=kx+b

把A（3，0），C（0，3）代入得

解得

∴直線AC為y＝x＋3，又AM＝1，

∴當x＝2時，y＝1，即E（2，1），ME＝1，

∴△AEM的面積＝×AM×ME＝×1×1＝；

（3）如圖2，連接CB并延長，交直線HG與Q，

∵HG⊥CF，BC＝BF，

∴∠BFC＋∠BFQ＝∠BCF＋∠Q＝90，∠BFC＝∠BCF，

∴∠BFQ＝∠Q，

∴BC＝BF＝BQ，

∴C,Q關于B點對稱

又∵C（0，3），B（1，0），

∴Q（2，3），

又∵H（0，1）

設QH的解析式為y=px+q，

把Q（2，3），H（0，1）代入得

解得

∴QH的解析式為y＝x1，

解方程組，可得或，

∴點G的坐標為（，）或（，）．