Question

【題目】拋物線y=﹣x2+x﹣1與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為D．將拋物線位于直線l：y=t（t＜）上方的部分沿直線l向下翻折，拋物線剩余部分與翻折后所得圖形組成一個(gè)“M”形的新圖象．

（1）求點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)

（2）如圖①，拋物線翻折后，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處．當(dāng)點(diǎn)E在△ABC內(nèi)（含邊界）時(shí)，求t的取值范圍；

（3）如圖②，當(dāng)t=0時(shí)，若Q是“M”形新圖象上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以CQ為直徑的圓與x軸相切于點(diǎn)P？若存在，直接寫出出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）；（2）≤t≤；（3）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）、（，0）或（，0）、（1，0）．

【解析】

（1）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再利用配方法即可找出拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）由點(diǎn)D的坐標(biāo)結(jié)合對(duì)稱找出點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線BC的解析式，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出關(guān)于t的一元一次不等式組，解之即可得出t的取值范圍；
（3）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m，分m＜或m＞3及≤m≤3兩種情況，利用勾股定理找出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，進(jìn)而可找出點(diǎn)P的坐標(biāo)，此題得解．

解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，有﹣x2+x﹣1=0，

解得：x1=，x2=3，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．

∵y=﹣x2+x﹣1=﹣（x2﹣x）﹣1=﹣（x﹣）2+，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）．

（2）∵點(diǎn)E、點(diǎn)D關(guān)于直線y=t對(duì)稱，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，2t﹣）．

當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣x2+x﹣1=﹣1，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣1）．

設(shè)線段BC所在直線的解析式為y=kx+b，

將B（3，0）、C（0，﹣1）代入y=kx+b，

解得： ，

∴線段BC所在直線的解析式為y=x﹣1．

∵點(diǎn)E在△ABC內(nèi)（含邊界），

∴，

解得：≤t≤．

（3）當(dāng)x＜或x＞3時(shí)，y=- x2+ x-1；
當(dāng)≤x≤3時(shí)，y=x2-x+1．
假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m．
①當(dāng)m＜或m＞3時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，-m2+m-1）（如圖1），

∵以CQ為直徑的圓與x軸相切于點(diǎn)P，
∴CP⊥PQ，
∴CQ2=CP2+PQ2，即m2+（-m2+m）2=m2+1+m2+（-m2+m-1）2，
整理，得：m1=，m2=，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（，0）；
②當(dāng)≤m≤3時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，m2- m+1）（如圖2），

∵以CQ為直徑的圓與x軸相切于點(diǎn)P，
∴CP⊥PQ，
∴CQ2=CP2+PQ2，即m2+（m2-m+2）2=m2+1+m2+（m2-m+1）2，
整理，得：11m2-28m+12=0，
解得：m3=，m4=2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（1，0）．
綜上所述：存在以CQ為直徑的圓與x軸相切于點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）、（ ，0）、（1，0）或（，0）．