Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A（，0）為圓心，以2為半徑的圓與x軸相交于點(diǎn)B、C，與y軸相交于點(diǎn)D、E．
（1）若拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過C、D兩點(diǎn)，求出此拋物線的解析式；
（2）在（1）中的拋物線的對(duì)稱軸上求一點(diǎn)F，使得△FBD的周長最�。�
（3）設(shè)Q為（1）中拋物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)M，使得四邊形BCQM是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
（4）連接BD、CD，設(shè)P為（1）中拋物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得△ABP與△DBC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知條件先求出C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再把其橫縱坐標(biāo)分別代入拋物線的解析式求出b，c即可；
（2）BD的長為定值，所以要使△FBD周長最小，只需FB+FD最小，連接DC，則DC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為使△FBD周長最小的點(diǎn)；
（3）設(shè)Q（，t）為拋物線對(duì)稱軸x=上一點(diǎn)，M在拋物線上，要使四邊形BCQM為平行四邊形，則BC∥QM且BC=QM，再分①當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)和①當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，討論即可；
（4）由（1）得B（-，0），BD=2，DC=6，AB=2，因?yàn)锽C為圓的直徑，所以△BDC是直角三角形，所以可判定Rt△BDC和Rt△PAB相似，有相似的性質(zhì)和對(duì)稱的性質(zhì)可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵OA=，AD=AC=2，
∴C（3，0）
又在Rt△AOD中，OA=
∴OD==3，
∴D（O，-3），
又∵D，C兩點(diǎn)在拋物線上，
∴c=-3，
∴b=-，
∴拋物線的解析式為y=x²-x-3；

（2）∵y=x²-x-3=（x-）²-4；
∴拋物線的對(duì)稱軸方程為：x=，
∵BD的長為定值，∴要使△FBD周長最小，只需FB+FD最小，
連接DC，則DC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為使△FBD周長最小的點(diǎn)，
設(shè)直線DC的解析式為y=mx+n，
有n=-3，得：m=，
∴直線DC的解析式為y=x-3，
由y=x-3，得x=，
∴y=-2，
∴F的坐標(biāo)為（，-2）；

（3）存在，
設(shè)Q（，t）為拋物線對(duì)稱軸x=上一點(diǎn)，M在拋物線上，
要使四邊形BCQM為平行四邊形，則BC∥QM且BC=QM，
①當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)，過點(diǎn)Q作直線L∥BC與拋物線交于點(diǎn)M（x，t），由BC=QM得QM=4，從而x=-3，t=12；故在拋物線上存在點(diǎn)M₁（-3，12）使得四邊形BCQM為平行四邊形；
②同理可知當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，在拋物線上存在M₂（5，12）使得四邊形BCQM為平行四邊形；
③當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱軸上時(shí)，在拋物線上存在M₃（，-4）使得四邊形BMCQ為平行四邊形；

（4）由（1）得B（-，0），BD=2，DC=6，AB=2
∵BC為圓的直徑，∴△BDC是直角三角形，
∴在Rt△BDC和Rt△PAB中
當(dāng)，△BDC∽△P₁AB，∴AP₁==6，∴P₁（，6）
當(dāng)，△BDC∽△P₂AB，∴AP₂==2，∴P₂（，2）
根據(jù)對(duì)稱性可得P₃（，-6）．P₄（，-2）．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為P₁（，6），P₂（，2），P₃（，-6）．P₄（，-2）．
點(diǎn)評(píng)：主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系，需注意的是（3）題在不確定平行四邊形邊和對(duì)角線的情況下需要分類討論，以免漏解．