【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C是⊙O上的一點,過點A作AD⊥CD于點D,交⊙O于點E,且=.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)若tan∠CAB=,BC=3,求DE的長.
【答案】(1)見解析;(2).
【解析】
試題分析:(1)連接OC,由=,根據(jù)圓周角定理得∠1=∠2,而∠1=∠OCA,則∠2=∠OCA,則可判斷OC∥AD,由于AD⊥CD,所以O(shè)C⊥CD,然后根據(jù)切線的判定定理得到CD是⊙O的切線;
(2)連接BE交OC于F,由AB是⊙O的直徑得∠ACB=90°,在Rt△ACB中,根據(jù)正切的定義得AC=4,再利用勾股定理計算出AB=5,然后證明Rt△ABC∽Rt△ACD,利用相似比先計算出AD=,再計算出CD=;根據(jù)垂徑定理的推論由=得OC⊥BE,BF=EF,于是可判斷四邊形DEFC為矩形,所以EF=CD=,則BE=2EF=,然后在Rt△ABE中,利用勾股定理計算出AE=,再利用DE=AD﹣AE求解.
(1)證明:連接OC,如圖,
∵=,
∴∠1=∠2,
∵OC=OA,
∴∠1=∠OCA,
∴∠2=∠OCA,
∴OC∥AD,
∵AD⊥CD,
∴OC⊥CD,
∴CD是⊙O的切線;
(2)解:連接BE交OC于F,如圖,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°,
在Rt△ACB中,tan∠CAB==,
而BC=3,
∴AC=4,
∴AB==5,
∵∠1=∠2,
∴Rt△ABC∽Rt△ACD,
∴=,即=,解得AD=,
∵=,即=,解得CD=,
∵=,
∴OC⊥BE,BF=EF,
∴四邊形DEFC為矩形,
∴EF=CD=,
∴BE=2EF=,
∵AB為直徑,
∴∠BEA=90°,
在Rt△ABE中,
AE===,
∴DE=AD﹣AE=﹣=.
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A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
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