【題目】如圖,AB是O的直徑,C是O上的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作ADCD于點(diǎn)D,交O于點(diǎn)E,且=

(1)求證:CD是O的切線;

(2)若tanCAB=,BC=3,求DE的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)

【解析】

試題分析:(1)連接OC,由=,根據(jù)圓周角定理得1=2,而1=OCA,則2=OCA,則可判斷OCAD,由于ADCD,所以O(shè)CCD,然后根據(jù)切線的判定定理得到CD是O的切線;

(2)連接BE交OC于F,由AB是O的直徑得ACB=90°,在RtACB中,根據(jù)正切的定義得AC=4,再利用勾股定理計(jì)算出AB=5,然后證明RtABCRtACD,利用相似比先計(jì)算出AD=,再計(jì)算出CD=;根據(jù)垂徑定理的推論由=得OCBE,BF=EF,于是可判斷四邊形DEFC為矩形,所以EF=CD=,則BE=2EF=,然后在RtABE中,利用勾股定理計(jì)算出AE=,再利用DE=AD﹣AE求解.

(1)證明:連接OC,如圖,

=,

∴∠1=2,

OC=OA,

∴∠1=OCA,

∴∠2=OCA

OCAD,

ADCD,

OCCD,

CDO的切線;

(2)解:連接BE交OC于F,如圖,

ABO的直徑,

∴∠ACB=90°,

在RtACB中,tanCAB==,

而B(niǎo)C=3,

AC=4,

AB==5,

∵∠1=2

RtABCRtACD,

=,即=,解得AD=,

=,即=,解得CD=

=,

OCBE,BF=EF,

四邊形DEFC為矩形,

EF=CD=

BE=2EF=,

AB為直徑,

∴∠BEA=90°,

在RtABE中,

AE===,

DE=AD﹣AE==

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