Question

在平面直角坐標系xOy中，矩形ABCO的頂點A、C分別在y軸、x軸正半軸上，點P在AB上，PA=1，AO=2．經(jīng)過原點的拋物線的對稱軸是直線x=2．

（1）求出該拋物線的解析式．

（2）如圖1，將一塊兩直角邊足夠長的三角板的直角頂點放在P點處，兩直角邊恰好分別經(jīng)過點O和C．現(xiàn)在利用圖2進行如下探究：

①將三角板從圖1中的位置開始，繞點P順時針旋轉(zhuǎn)，兩直角邊分別交OA、OC于點E、F，當點E和點A重合時停止旋轉(zhuǎn)．請你觀察、猜想，在這個過程中，的值是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，說明理由；若不發(fā)生變化，求出的值．

②設（1）中的拋物線與x軸的另一個交點為D，頂點為M，在①的旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在點F，使△DMF為等腰三角形？若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）①的值不變。理由見解析

②存在。理由見解析

【解析】

分析：（1）根據(jù)拋物線過原點和對稱軸為直線x=2這兩個條件確定拋物線的解析式。

（2）①如答圖1所述，證明Rt△PAE∽Rt△PGF，則有，的值是定值，不變化。

 ②若△DMF為等腰三角形，可能有三種情形，需要分類討論，避免漏解。

解：（1）∵拋物線經(jīng)過原點，∴n=0。

∵拋物線對稱軸為直線x=2，∴，解得。

∴拋物線的解析式為：。

（2）①的值不變。理由如下：

如答圖1所示，過點P作PG⊥x軸于點G，則PG=AO=2．

∵PE⊥PF，PA⊥PG，∴∠APE=∠GPF。．

在Rt△PAE與Rt△PGF中，

∵∠APE=∠GPF，∠PAE=∠PGF=90°，

∴Rt△PAE∽Rt△PGF。

∴。．

②存在。

拋物線的解析式為：，

令y=0，即，解得：x=0或x=4，∴D（4，0）。

又，∴頂點M坐標為（2，﹣1）。

若△DMF為等腰三角形，可能有三種情形：

（�。〧M=FD，如答圖2所示，

過點M作MN⊥x軸于點N，則MN=1，ND=2，。

設FM=FD=x，則NF=ND﹣FD=2﹣x．

在Rt△MNF中，由勾股定理得：NF²+MN²=MF²，

即：，解得：。

∴FD=，OF=OD﹣FD。

∴F（，0）。

（ⅱ）若FD=DM．如答圖3所示，

此時FD=DM=，∴OF=OD﹣FD=。

∴F（，0）。

（ⅲ）若FM=MD，

由拋物線對稱性可知，此時點F與原點O重合，而由題意可知，點E與點A重合后即停止運動，故點F不可能運動到原點O。

∴此種情形不存在。

綜上所述，存在點F（，0）或F（，0），使△DMF為等腰三角形。