Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一矩形ABCO（O為原點），點A、C分別在x軸、y軸上，且C點坐標(biāo)為(0，6)，將△BCD沿BD折疊(D點在OC邊上），使C點落在DA邊的E點上，并將△BAE沿BE折疊，恰好使點A落在BD邊的F點上．

（1）求BC的長，并求折痕BD所在直線的函數(shù)解析式；

（2）過點F作FG⊥x軸，垂足為G，F(xiàn)G的中點為H，若拋物線經(jīng)過B,H, D三點，求拋物線解析式；

（3）點P是矩形內(nèi)部的點，且點P在（2）中的拋物線上運動（不含B, D點），過點P作PN⊥BC，分別交BC 和 BD于點N, M，是否存在這樣的點P，使如果存在，求出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由翻折可知：△BCD≌△BED，∴∠CBD=∠DBE。

又∵△ABE≌△FBE，∴∠DBE=∠ABE。

又∵四邊形OCBA為矩形，∴∠CBD=∠DBE=∠ABE=30°。

在Rt△DOE中，∠ODE=60°，∴DE=CD=2OD。

∵OC=OD+CD=6，∴OD+2OD=6，∴OD=2，D（0，2）。∴CD=4。

在Rt△CDB中，BC=CD•tan60°=4，∴B（4，6）。

設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，由題意得：，解得。

∴直線BD的解析式為：。

（2）在Rt△FGE中，∠FEG=60°，F(xiàn)E=AE．

由（1）易得：OE=2，∴FE=AE=2。

∴FG=3，GE=�！郞G=。

∵H是FG的中點，∴H（，）。

∵拋物線經(jīng)過B、H、D三點，

∴，解得。

∴拋物線解析式為。

（3）存在。

∵P在拋物線上，∴設(shè)P（x，），M（x，），N（x，6）。

∵S_△BNM=S_△BPM，∴PM=MN．即：。

整理得：，解得：x=2或x=4。

當(dāng)x=2時，；

當(dāng)x=4時，，與點B重合，不符合題意，舍去。

∴P（2，2）。

∴存在點P，使S_△BNM=S_△BPM，點P的坐標(biāo)為（2，2）。

【解析】

試題分析：（1）首先由折疊性質(zhì)得到∠CBD=∠DBE=∠ABE=30°，然后解直角三角形得到點D、點B的坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式；

（2）點B、D坐標(biāo)已經(jīng)求出，關(guān)鍵是求出點H的坐標(biāo)．在Rt△FGE中，解直角三角形求出點H的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式。

（3）由S_△BNM=S_△BPM，且這兩個三角形等高，所以得到PM=MN．由此結(jié)論，列出方程求出點P的坐標(biāo)。