Question

【題目】如圖1，等腰Rt△ABC和等腰Rt△DEF中，∠BCA=∠FDE=90°，AB=4，EF=8．點(diǎn)A、C、D、E在一條直線上，等腰Rt△DEF靜止不動(dòng)，初始時(shí)刻，C與D重合，之后等腰Rt△ABC從C出發(fā)，沿射線CE方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A點(diǎn)與E點(diǎn)重合時(shí)，停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t≥0）．

（1）直接寫(xiě)出線段AC、DE的長(zhǎng)度；

（2）在等腰Rt△ABC的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)等腰Rt△ABC和等腰Rt△DEF重疊部分的面積為S，請(qǐng)直接寫(xiě)出S與t的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量t的取值范圍；

（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)線段AB與線段EF相交時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為點(diǎn)M，點(diǎn)O為線段CE的中點(diǎn)；是否存在這樣的t，使點(diǎn)E、O、M三點(diǎn)構(gòu)成的三角形是等腰三角形？若存在，求出對(duì)應(yīng)的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）AC=4，DE=8，；（2）見(jiàn)解析;（3）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）利用運(yùn)動(dòng)即可得出結(jié)論；

（2）利用面積的和差和特殊圖形的面積公式分三種情況討論計(jì)算即可；

（3）找出△MOE是等腰三角形時(shí)的位置即可得出結(jié)論．

（1）在Rt△ABC中，

AC=BC，AB=4，

∴AC=BC=4，

同理：DE=DF=8；

（2）當(dāng)0＜t≤4時(shí)，如圖1，設(shè)AB與BD的交點(diǎn)為G，

由運(yùn)動(dòng)知，CD=t，

∴DG=AD=4﹣t，

∴S=（DG+BC）×CD=（4﹣t+4）×t=﹣t2+4t，

當(dāng)4＜t≤8時(shí)，

如圖3，記AB與EF的交點(diǎn)為P，

由運(yùn)動(dòng)知，CE=8﹣t，

∴CQ=8﹣t，

∴BQ=4﹣（8﹣t）=t﹣4，

∴S=S△ABC﹣S△PBQ=×4×4﹣（t﹣4）×（t﹣4）=8﹣（t﹣4）2，

當(dāng)8＜t＜12時(shí)，如圖5，

記AB與EF的交點(diǎn)為N'，

由運(yùn)動(dòng)知，AC=4﹣（t﹣8）=t﹣4，

∴S=S△AEN'=（t﹣4）×（t﹣4）=（t﹣4）2；

（3）當(dāng)∠MOE=90°時(shí)，如圖6，

即：點(diǎn)C與O重合，

∴t=4，

當(dāng)∠OME=90°時(shí)，如圖7，

點(diǎn)A和O重合，

∴t=8，

即：△MOE是等腰三角形時(shí)，t=4或8．