Question

16．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)C，B開(kāi)始沿邊CA，BC勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q的速度為1cm/s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)．
（1）如果點(diǎn)P的速度為1cm/s，當(dāng)t=$\frac{24}{7}$s時(shí)，四邊形PEFQ為矩形．
（2）如果改變點(diǎn)P的速度（勻速運(yùn)動(dòng)）使四邊形EFQP在某一時(shí)刻為正方形，則點(diǎn)P的速度為$\frac{96}{37}$cm/s．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得出CP=BQ=tcm，得出AP=8-t，由勾股定理求出AB=10，證明△APE∽△ABC，得出對(duì)應(yīng)邊成比例$\frac{PE}{BC}=\frac{AP}{AB}=\frac{AE}{AC}$，得出PE=$\frac{3}{5}$（8-t），同理：QF=$\frac{4}{5}$t，當(dāng)PE=QF時(shí)，四邊形PEFQ為矩形，得出方程，解方程即可；
（2）根據(jù)題意得：當(dāng)PE=EF=QF時(shí)，四邊形EFQP是正方形，設(shè)點(diǎn)P的速度為xcm/s，由（1）得：PE=$\frac{3}{5}$（8-x），AE=$\frac{4}{5}$（8-x），QF=$\frac{4}{5}$t，BF=$\frac{3}{5}$t，求出EF=10-$\frac{4}{5}$（8-x）-$\frac{3}{5}$t，得出方程組，解方程組即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：CP=BQ=tcm，
∴AP=8-t，
∵∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10cm，
∵PE⊥AB，QF⊥AB，
∴PE∥QF，∠PEA=∠QFB=90°，
∵∠A=∠A，
∴△APE∽△ABC，
∴$\frac{PE}{BC}=\frac{AP}{AB}=\frac{AE}{AC}$，
即$\frac{PE}{6}=\frac{8-t}{10}$，
解得：PE=$\frac{3}{5}$（8-t），
同理：QF=$\frac{4}{5}$t，
當(dāng)PE=QF時(shí)，四邊形PEFQ為矩形，
∴$\frac{4}{5}$t=$\frac{3}{5}$（8-t），
解得：t=$\frac{24}{7}$；
故答案為：$\frac{24}{7}$s；
（2）根據(jù)題意得：當(dāng)PE=EF=QF時(shí)，四邊形EFQP是正方形，
設(shè)點(diǎn)P的速度為xcm/s，
由（1）得：PE=$\frac{3}{5}$（8-x），AE=$\frac{4}{5}$（8-x），QF=$\frac{4}{5}$t，BF=$\frac{3}{5}$t，
∴EF=10-$\frac{4}{5}$（8-x）-$\frac{3}{5}$t，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{5}（8-x）=\frac{4}{5}t}\\{10-\frac{4}{5}（8-x）-\frac{3}{5}t=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{96}{37}}\\{t=\frac{150}{37}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P的速度為$\frac{96}{37}$cm/s．
故答案為：$\frac{96}{37}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的判定、矩形的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；本題（2）有一定難度，需要解方程組才能得出結(jié)果．