16.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,動點P,Q分別從點C,B開始沿邊CA,BC勻速運動,點Q的速度為1cm/s,運動時間為ts.過點P作PE⊥AB,過點Q作QF⊥AB,垂足分別為E,F(xiàn).
(1)如果點P的速度為1cm/s,當(dāng)t=$\frac{24}{7}$s時,四邊形PEFQ為矩形.
(2)如果改變點P的速度(勻速運動)使四邊形EFQP在某一時刻為正方形,則點P的速度為$\frac{96}{37}$cm/s.

分析 (1)根據(jù)題意得出CP=BQ=tcm,得出AP=8-t,由勾股定理求出AB=10,證明△APE∽△ABC,得出對應(yīng)邊成比例$\frac{PE}{BC}=\frac{AP}{AB}=\frac{AE}{AC}$,得出PE=$\frac{3}{5}$(8-t),同理:QF=$\frac{4}{5}$t,當(dāng)PE=QF時,四邊形PEFQ為矩形,得出方程,解方程即可;
(2)根據(jù)題意得:當(dāng)PE=EF=QF時,四邊形EFQP是正方形,設(shè)點P的速度為xcm/s,由(1)得:PE=$\frac{3}{5}$(8-x),AE=$\frac{4}{5}$(8-x),QF=$\frac{4}{5}$t,BF=$\frac{3}{5}$t,求出EF=10-$\frac{4}{5}$(8-x)-$\frac{3}{5}$t,得出方程組,解方程組即可.

解答 解:(1)根據(jù)題意得:CP=BQ=tcm,
∴AP=8-t,
∵∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10cm,
∵PE⊥AB,QF⊥AB,
∴PE∥QF,∠PEA=∠QFB=90°,
∵∠A=∠A,
∴△APE∽△ABC,
∴$\frac{PE}{BC}=\frac{AP}{AB}=\frac{AE}{AC}$,
即$\frac{PE}{6}=\frac{8-t}{10}$,
解得:PE=$\frac{3}{5}$(8-t),
同理:QF=$\frac{4}{5}$t,
當(dāng)PE=QF時,四邊形PEFQ為矩形,
∴$\frac{4}{5}$t=$\frac{3}{5}$(8-t),
解得:t=$\frac{24}{7}$;
故答案為:$\frac{24}{7}$s;
(2)根據(jù)題意得:當(dāng)PE=EF=QF時,四邊形EFQP是正方形,
設(shè)點P的速度為xcm/s,
由(1)得:PE=$\frac{3}{5}$(8-x),AE=$\frac{4}{5}$(8-x),QF=$\frac{4}{5}$t,BF=$\frac{3}{5}$t,
∴EF=10-$\frac{4}{5}$(8-x)-$\frac{3}{5}$t,
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{5}(8-x)=\frac{4}{5}t}\\{10-\frac{4}{5}(8-x)-\frac{3}{5}t=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{96}{37}}\\{t=\frac{150}{37}}\end{array}\right.$,
∴點P的速度為$\frac{96}{37}$cm/s.
故答案為:$\frac{96}{37}$.

點評 本題考查了正方形的判定、矩形的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識;本題(2)有一定難度,需要解方程組才能得出結(jié)果.

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