Question

已知：如圖，∠ABC和∠ACB的平分線交于點O，EF經(jīng)過點O且平行于BC，分別與AB，AC交于點E，F(xiàn)．

（1）若∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠BOC的度數(shù)；
（2）若∠ABC=α，∠ACB=β?，用α，β的代數(shù)式表示∠BOC的度數(shù)．
（3）在第（2）問的條件下，若∠ABC和∠ACB鄰補(bǔ)角的平分線交于點O，其他條件不變，請畫出相應(yīng)圖形，并用α，β的代數(shù)式表示∠BOC的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)角平分線的定義求出∠OBC+∠OCB的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BOC的度數(shù)即可；
（2）先用α、β表示出∠OBC+∠OCB的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BOC的度數(shù)即可；
（3）根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)三角平分線的定義求出∠CBO+∠ACO的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵∠ABC和∠ACB的平分線交于點O，∠ABC=50°，∠ACB=60°，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

×（50°+60°）=55°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-55°=125°；

（2）∵∠ABC和∠ACB的平分線交于點O，∠ABC=α，∠ACB=β，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

（α+β），
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-

1

2

（α+β）；

（3）如圖所示：
∵∠ABC和∠ACB鄰補(bǔ)角的平分線交于點O，
∴∠CBO+∠BCO=

180°-α

2

+

180°-β

2

=180°-

α+β

2

，
∴∠BOC=180°-（180°-

α+β

2

）=

1

2

α+

1

2

β．

點評：本題考查的是三角形內(nèi)角和定理及角平分線的性質(zhì)，熟知三角形的內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．