Question

【題目】一塊含45°的直角三角板ABC, AB=AC, ∠BAC=90°， 點D為射線CB上一點，且不與點C,點B重合,連接AD.過點A作線段AD的垂線l,在直線l上，截取AE=AD(點E與點C在直線AD的同側)，連接CE.

（1）當點D在線段CB上時，如圖1,線段CE與BD的數(shù)量關系為____________，位置關系為___________；

（2）當點D在線段CB的延長線上時，如圖2,

①請將圖形補充完整;

②（1）中的結論是否仍成立?如果成立，請證明;如果不成立，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）CE=BD, CE⊥BD；（2）①見解析，②成立，理由見解析

【解析】

（1）在圖1中證明△ABD≌△ACE，得到CE=BD，∠B=∠ACE=45°即可得到∠BCE=90°，即CE⊥BD；

（2）①根據題意，畫出圖形即可；

②與（1）同理，證明△ADB≌△AEC，然后得到CE=BD，然后得到∠ABC=∠ACB=45°，然后得到∠BCE=90°，即CE⊥BD.

證明：（1）∵AD⊥l，

∴∠DAE=∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE=90°，

∴∠BAD=∠CAE，

∵AD=AE，AB=AC，

∴△ABD≌△ACE，

∴CE=BD，∠B=∠ACE=45°，

∴∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，

∴∠BCE=90°，即CE⊥BD；

故答案為：CE=BD，CE⊥BD；

（2）①補全圖形，如圖：

②CE=BD，CE⊥BD仍成立；

證明：∵AD⊥AE

∴∠DAE=90°

∵∠BAC=90°

∴∠DAE∠1=∠BAC∠1

即∠2=∠3

∵AB=AC, AD=AE

∴△ADB≌△AEC

∴CE=BD，∠ACE=∠ABD

∵∠ABC=∠ACB=45°

∴∠ACE=∠ABD=135°

∴∠DCE=∠ACE∠ACB=90°

∴CE⊥BD.