【題目】在△ABC中,AB=AC≠BC,點D和點A在直線BC的同側(cè),BD=BC,∠BAC=α,∠DBC=β,且α+β=120°,連接AD,求∠ADB的度數(shù).(不必解答)
(1)小聰先從特殊問題開始研究,當(dāng)α=90°,β=30°時,利用軸對稱知識,以AB為對稱軸構(gòu)造△ABD的軸對稱圖形△ABD′,連接CD′(如圖2),然后利用α=90°,β=30°以及等邊三角形等相關(guān)知識便可解決這個問題.
請結(jié)合小聰研究問題的過程和思路,在這種特殊情況下填空:△D′BC的形狀是 三角形;∠ADB的度數(shù)為 .
(2)在原問題中,當(dāng)∠DBC<∠ABC(如圖1)時,請計算∠ADB的度數(shù);
(3)在原問題中,過點A作直線AE⊥BD,交直線BD于E,其他條件不變?nèi)?/span>BC=7,AD=2.請直接寫出線段BE的長為 .
【答案】(1)①△D′BC是等邊三角形,②∠ADB=30°(2)∠ADB=30°;(3)7+或7﹣
【解析】
(1)①如圖2中,作∠ABD′=∠ABD,BD′=BD,連接CD′,AD′,由△ABD≌△ABD′,推出△D′BC是等邊三角形;
②借助①的結(jié)論,再判斷出△AD′B≌△AD′C,得∠AD′B=∠AD′C,由此即可解決問題.
(2)當(dāng)60°<α≤120°時,如圖3中,作∠ABD′=∠ABD,BD′=BD,連接CD′,AD′,證明方法類似(1).
(3)第①種情況:當(dāng)60°<α≤120°時,如圖3中,作∠ABD′=∠ABD,BD′=BD,連接CD′,AD′,證明方法類似(1),最后利用含30度角的直角三角形求出DE,即可得出結(jié)論;第②種情況:當(dāng)0°<α<60°時,如圖4中,作∠ABD′=∠ABD,BD′=BD,連接CD′,AD′.證明方法類似(1),最后利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.
(1)①如圖2中,作∠ABD′=∠ABD,BD′=BD,連接CD′,AD′,
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠ABC=45°,
∵∠DBC=30°,
∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=15°,
在△ABD和△ABD′中,
∴△ABD≌△ABD′,
∴∠ABD=∠ABD′=15°,∠ADB=∠AD′B,
∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=60°,
∵BD=BD′,BD=BC,
∴BD′=BC,
∴△D′BC是等邊三角形,
②∵△D′BC是等邊三角形,
∴D′B=D′C,∠BD′C=60°,
在△AD′B和△AD′C中,
∴△AD′B≌△AD′C,
∴∠AD′B=∠AD′C,
∴∠AD′B=∠BD′C=30°,
∴∠ADB=30°.
(2)∵∠DBC<∠ABC,
∴60°<α≤120°,
如圖3中,作∠ABD′=∠ABD,BD′=BD,連接CD′,AD′,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵∠BAC=α,
∴∠ABC=(180°﹣α)=90°﹣α,
∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=90°﹣α﹣β,
同(1)①可證△ABD≌△ABD′,
∴∠ABD=∠ABD′=90°﹣α﹣β,BD=BD′,∠ADB=∠AD′B
∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=90°﹣α﹣β+90°﹣α=180°﹣(α+β),
∵α+β=120°,
∴∠D′BC=60°,
由(1)②可知,△AD′B≌△AD′C,
<>∴∠AD′B=∠AD′C,∴∠AD′B=∠BD′C=30°,
∴∠ADB=30°.
(3)第①情況:當(dāng)60°<α<120°時,如圖3﹣1,
由(2)知,∠ADB=30°,
作AE⊥BD,
在Rt△ADE中,∠ADB=30°,AD=2,
∴DE=,
∵△BCD'是等邊三角形,
∴BD'=BC=7,
∴BD=BD'=7,
∴BE=BD﹣DE=7﹣;
第②情況:當(dāng)0°<α<60°時,
如圖4中,作∠ABD′=∠ABD,BD′=BD,連接CD′,AD′.
同理可得:∠ABC=(180°﹣α)=90°﹣α,
∴∠ABD=∠DBC﹣∠ABC=β﹣(90°﹣α),
同(1)①可證△ABD≌△ABD′,
∴∠ABD=∠ABD′=β﹣(90°﹣α),BD=BD′,∠ADB=∠AD′B,
∴∠D′BC=∠ABC﹣∠ABD′=90°﹣α﹣[β﹣(90°﹣α)]=180°﹣(α+β),
∴D′B=D′C,∠BD′C=60°.
同(1)②可證△AD′B≌△AD′C,
∴∠AD′B=∠AD′C,
∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C=360°,
∴∠ADB=∠AD′B=150°,
在Rt△ADE中,∠ADE=30°,AD=2,
∴DE=,
∴BE=BD+DE=7+,
故答案為:7+或7﹣.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知以Rt△ABC的邊AB為直徑作△ABC的外接圓⊙O,∠B的平分線BE交AC于D,交⊙O于E,過E作EF∥AC交BA的延長線于F.
(1)求證:EF是⊙O切線;
(2)若AB=15,EF=10,求AE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】A、B兩名同學(xué)在同一個學(xué)校上學(xué),B同學(xué)上學(xué)的路上經(jīng)過A同學(xué)家。A同學(xué)步行,B同學(xué)騎自行車,某天,A,B兩名同學(xué)同時從家出發(fā)到學(xué)校,如圖,A表示A同學(xué)離B同學(xué)家的路程A(m)與行走時間(min)之間的函數(shù)關(guān)系圖象,B表示B同學(xué)離家的路程B(m)與行走時間(min)之間的函數(shù)關(guān)系圖象.
(1)A,B兩名同學(xué)的家相距________m.
(2)B同學(xué)走了一段路后,自行車發(fā)生故障,進行修理,修理自行車所用的時間是 _____min.
(3)B同學(xué)出發(fā)后______min與A同學(xué)相遇.
(4)求出A同學(xué)離B同學(xué)家的路程A與時間的函數(shù)關(guān)系式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在已知的△ABC中,按以下步驟作圖:①分別以B,C為圓心,以大于BC的長為半徑作弧,兩弧相交于兩點M,N;②作直線MN交AB于點D,連接CD.若CD=AC,∠A=50°,則∠ACB的度數(shù)為( )
A. 90°B. 95°C. 100°D. 105°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,點D、E、F分別在AB、BC、AC邊 且BE=CF,AD+EC=AB.
(1)求證:△DEF是等腰三角形;
(2)當(dāng)∠A=40°時,求∠DEF的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將一些完全相同的正三角形按如圖所示規(guī)律擺放,第一個圖形有1個正三角形,第二個圖形有5個正三角形,第三個圖形有12個正三角形,…,按此規(guī)律排列下去,第六個圖形中正三角形的個數(shù)是( 。
A. 35 B. 41 C. 45 D. 51
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,OA=2,OB=4,以A點為頂點,AB為腰,在第三象限作等腰Rt△ABC.
(1)求C點的坐標(biāo)及△ABC的面積;
(2)如圖2,P為y軸負(fù)半軸上一個動點,當(dāng)P點在y軸負(fù)半軸上向下運動時,若以P為直角頂點,PA為腰作等腰Rt△APD,過D作DE⊥x軸于E點,求證:OP=DE+2.
(3)已知點F坐標(biāo)為(-2,-2),當(dāng)G在y軸的負(fù)半軸上沿負(fù)方向運動時,請在圖3作出等腰Rt△FGH,且始終保持∠GFH=90°,若FG與y軸負(fù)半軸交于點G(0,m),FH與x軸正半軸交于點H(n,0), 當(dāng)G在y軸的負(fù)半軸上沿負(fù)方向運動時,以下結(jié)論:①m-n為定值;②m+n為定值,請判斷其中哪些結(jié)論是正確的,并求出其值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AC=BC,D是AB中點,CE∥AB,CE=AB.
(1)求證:四邊形CDBE是矩形.
(2)若AC=5,CD=3,F(xiàn)是BC上一點,且DF⊥BC,求DF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線經(jīng)過A(2,0). 設(shè)頂點為點P,與x軸的另一交點為點B.
(1)求b的值,求出點P、點B的坐標(biāo);
(2)如圖,在直線 上是否存在點D,使四邊形OPBD為平行四邊形?若存在,求出點D的坐
標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)在x軸下方的拋物線上是否存在點M,使△AMP≌△AMB?如果存在,試舉例驗證你的猜想;如果不存在,試說明理由.
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