Question

11．如圖1，O為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OC，∠AOC=30°，將一直角三角板（∠D=30°）的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OE在射線OA上，另一邊OD與OC都在直線AB的上方．
（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒5°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，如圖2，經(jīng)過t秒后，OD恰好平分∠BOC．
①此時t的值為3；（直接填空）
②此時OE是否平分∠AOC？請說明理由；
（2）在（1）問的基礎(chǔ)上，若三角板在轉(zhuǎn)動的同時，射線OC也繞O點(diǎn)以每秒8°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，如圖3，那么經(jīng)過多長時間OC平分∠DOE？請說明理由；
（3）在（2）問的基礎(chǔ)上，經(jīng)過多長時間OC平分∠DOB？請畫圖并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)：時間=$\frac{角度}{速度}$進(jìn)行計算．通過計算，證明OE平分∠AOC．
（2）由于OC的旋轉(zhuǎn)速度快，需要考慮三種情形．
（3）通過計算分析，OC，OD的位置，然后列方程解決．

解答 解：（1）①∵∠AOC=30°，∠AOB=180°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=150°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD=$\frac{1}{2}∠$BOC=75°，
∴t=$\frac{90°-75°}{5}$=3．
②是，理由如下：
∵轉(zhuǎn)動3秒，∴∠AOE=15°，
∴∠COE=∠AOC-∠AOE=15°，
∴∠COE=∠AOE，
即OE平分∠AOC．                     
（2）三角板旋轉(zhuǎn)一周所需的時間為=$\frac{360}{4}$=90（秒），射線OC繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周所需的時間為$\frac{360}{8}$=45（秒），
設(shè)經(jīng)過x秒時，OC平分∠DOE，
由題意：①8x-5x=45-30，
解得：x=5，
②8x-5x=360-30+45，
解得：x=125＞45，不合題意，
③∵射線OC繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周所需的時間為$\frac{360}{8}$=45（秒），45秒后停止運(yùn)動，
∴OE旋轉(zhuǎn)345°時，OC平分∠DOE，
∴t=$\frac{345}{5}$=69（秒），
綜上所述，t=5秒或69秒時，OC平分∠DOE．

（3）由題意可知，OD旋轉(zhuǎn)到與OB重合時，需要90÷5=18（秒），OC旋轉(zhuǎn)到與OB重合時，需要（180-30）÷8=18$\frac{3}{4}$（秒），
所以O(shè)D比OC早與OB重合，
設(shè)經(jīng)過x秒時，OC平分∠DOB，
由題意：8x-（180-30）=$\frac{1}{2}$（5x-90），
解得：x=$\frac{210}{11}$，
所以經(jīng)$\frac{210}{11}$秒時，OC平分∠DOB．

點(diǎn)評 本題目考查了角平分線的定義，旋轉(zhuǎn)的速度，角度，時間的關(guān)系，應(yīng)用方程的思想是解決問題的關(guān)鍵，還需要通過計算進(jìn)行初步估計位置，掌握分類思想，注意不能漏解．