Question

我們約定，若一個三角形（記為△A₁）是由另一個三角形（記為△A）通過一次平移，或繞其任一邊的中點旋轉(zhuǎn)180°得到的，則稱△A₁是由△A復(fù)制的．以下的操作中每一個三角形只可以復(fù)制一次，復(fù)制過程可以一直進行下去．如圖1是由△A復(fù)制出△A₁，又由△A₁復(fù)制出△A₂，再由△A₂復(fù)制出△A₃，形成了一個大三角形，記作△B．以下各題中的復(fù)制均是由△A開始的，由復(fù)制形成的多邊形中的任意兩個小三角形（指與△A全等的三角形）之間既無縫隙也無重疊．
（1）圖1中標(biāo)出的是一種可能的復(fù)制結(jié)果，它用到______次平移，______次旋轉(zhuǎn)．小明發(fā)現(xiàn)△B∽△A，其相似比為______．若由復(fù)制形成的△C的一條邊上有11個小三角形（指有一條邊在該邊上的小三角形），則△C中含有______個小三角形；
（2）若△A是正三角形，你認(rèn)為通過復(fù)制能形成的正多邊形是______；
（3）在復(fù)制形成四邊形的過程中，小明用到了兩次平移一次旋轉(zhuǎn)，你能用兩次旋轉(zhuǎn)一次平移復(fù)制形成一個四邊形嗎？如果能，請在圖2的方框內(nèi)畫出草圖，并仿照圖1作出標(biāo)記；如果不能，請說明理由；
（4）圖3是正五邊形EFGHI，其中心是O，連接O點與各頂點．將其中的一個三角形記為△A，小明認(rèn)為正五邊形EFGHI是由復(fù)制形成的一種結(jié)果，你認(rèn)為他的說法對嗎？請判斷并說明理由．

Answer 1

解：（1）△A-△A₁是經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得，△A₁-△A₂是經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得，△A₂-△A₃是經(jīng)過平移所得．因此經(jīng)過了2次旋轉(zhuǎn)和1次平移．由于△B是由4個△A組成，因此S_△B=4S_△A，因此相似比為2：1．當(dāng)△C的一條邊上有11個小三角形時，那么它們的相似比為11：1，面積比121：1，即△C中有121個這樣的小三角形；

（2）正三邊形、正六邊形；

（3）能，見右圖；

（4）不對；因為平移或旋轉(zhuǎn)復(fù)制后，至少有一條邊和原三角形的邊平行．
分析：（1）根據(jù)平移性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和相似知識進行求解；
（2）應(yīng)該是證三角形和正六邊形；
（3）只要符合平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可，答案不唯一；
（4）不可能是正五邊形，由于不管怎么平移和旋轉(zhuǎn)，得出的圖形至少有一邊與原三角形的邊平行，因此不可能是正五邊形．
點評：本題考查了平移的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及相似和全等三角形的判定等知識點．找出圖中的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．