Question

27、我們約定，若一個(gè)三角形（記為△A₁）是由另一個(gè)三角形（記為△A）通過(guò)一次平移，或繞其任一邊的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到的，則稱△A₁是由△A復(fù)制的．以下的操作中每一個(gè)三角形只可以復(fù)制一次，復(fù)制過(guò)程可以一直進(jìn)行下去．如圖1是由△A復(fù)制出△A₁，又由△A₁復(fù)制出△A₂，再由△A₂復(fù)制出△A₃，形成了一個(gè)大三角形，記作△B．以下各題中的復(fù)制均是由△A開(kāi)始的，由復(fù)制形成的多邊形中的任意兩個(gè)小三角形（指與△A全等的三角形）之間既無(wú)縫隙也無(wú)重疊．
（1）圖1中標(biāo)出的是一種可能的復(fù)制結(jié)果，它用到

1

次平移，

2

次旋轉(zhuǎn)．小明發(fā)現(xiàn)△B∽△A，其相似比為

2：1

．若由復(fù)制形成的△C的一條邊上有11個(gè)小三角形（指有一條邊在該邊上的小三角形），則△C中含有

121

個(gè)小三角形；
（2）若△A是正三角形，你認(rèn)為通過(guò)復(fù)制能形成的正多邊形是

正三邊形、正六邊形

；
（3）在復(fù)制形成四邊形的過(guò)程中，小明用到了兩次平移一次旋轉(zhuǎn)，你能用兩次旋轉(zhuǎn)一次平移復(fù)制形成一個(gè)四邊形嗎？如果能，請(qǐng)?jiān)趫D2的方框內(nèi)畫(huà)出草圖，并仿照?qǐng)D1作出標(biāo)記；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）圖3是正五邊形EFGHI，其中心是O，連接O點(diǎn)與各頂點(diǎn)．將其中的一個(gè)三角形記為△A，小明認(rèn)為正五邊形EFGHI是由復(fù)制形成的一種結(jié)果，你認(rèn)為他的說(shuō)法對(duì)嗎？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平移性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和相似知識(shí)進(jìn)行求解；
（2）應(yīng)該是證三角形和正六邊形；
（3）只要符合平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可，答案不唯一；
（4）不可能是正五邊形，由于不管怎么平移和旋轉(zhuǎn)，得出的圖形至少有一邊與原三角形的邊平行，因此不可能是正五邊形．

解答：解：（1）△A-△A1是經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)所得，△A1-△A2是經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)所得，△A2-△A3是經(jīng)過(guò)平移所得．因此經(jīng)過(guò)了2次旋轉(zhuǎn)和1次平移．由于△B是由4個(gè)△A組成，因此S_△B=4_S△A，因此相似比為2：1．當(dāng)△C的一條邊上有11個(gè)小三角形時(shí)，那么它們的相似比為11：1，面積比121：1，即△C中有121個(gè)這樣的小三角形；

（2）正三邊形、正六邊形；

（3）能，見(jiàn)右圖；

（4）不對(duì)；因?yàn)槠揭苹蛐�轉(zhuǎn)復(fù)制后，至少有一條邊和原三角形的邊平行．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平移的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及相似和全等三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)．找出圖中的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．