【題目】如圖①拋物線y=﹣x2+(m﹣1)x+m與直線y=kx+k交于點A、B,其中A點在x軸上,它們與y軸交點分別為C和D,P為拋物線的頂點,且點P縱坐標為4,拋物線的對稱軸交直線于點Q.
(1)試用含k的代數(shù)式表示點Q、點B的坐標.
(2)連接PC,若四邊形CDQP的內(nèi)部(包括邊界和頂點)只有4個橫坐標、縱坐標均為整數(shù)的點,求k的取值范圍.
(3)如圖②,四邊形CDQP為平行四邊形時,
①求k的值;
②E、F為線段DB上的點(含端點),橫坐標分別為a,a+n(n為正整數(shù)),EG∥y軸交拋物線于點G.問是否存在正整數(shù)n,使?jié)M足tan∠EGF的點E有兩個?若存在,求出n;若不存在說明理由.
【答案】(1)Q(1,2k),B(﹣k+3,﹣k2+4k);(2)1<k;(3)①k=1;②不存在,理由見解析.
【解析】
(1)由圖可知,拋物線對稱軸在y軸右側(cè),頂點P縱坐標為4,用頂點坐標公式即列得關于m的不等式和方程,求解即得到m的值,進而得到拋物線解析式.把頂點P的橫坐標代入直線y=kx+k即得到用k表示點Q的坐標.令拋物線解析式為0,解方程求得點A坐標.把直線與拋物線解析式聯(lián)立方程組并整理得關于x的一元二次方程,利用韋達定理得xA+xB的值,把xA代入即求得點B橫坐標進而求得B的縱坐標.
(2)由(1)得C(0,3),P(1,4),即四邊形CDQP的內(nèi)部(包括邊界和頂點)有2個滿足橫坐標、縱坐標均為整數(shù)的點P、C,另外兩個滿足的點應該是M(0,2)、N(1,3),由圖象可知此時點D在線段MS上(不與S(0,1)重合),點Q在線段NR上(不與點R(1,2)重合).因為D(0,k),Q(1,2k),即列得關于k的不等式組,求解即得到k的取值范圍.
(3)①求直線CP解析式,由四邊形CDQP為平行四邊形可得DQ∥CP,即直線y=kx+k的k與直線CP解析式的一次項系數(shù)相等,求得k=1.
②過點F作FH⊥⊥EG于點H,則Rt△FGH中,tan∠EGF,即GH=2FH.由點E、F橫坐標分別為a,a+n,可用含a、n的式子表示FH、GH的長,代入GH=2FH,得到關于a的一元二次方程(n為常數(shù)).因為滿足tan∠EGF的點E有兩個,即關于a的方程有兩個不相等的實數(shù)根,由△>0求得n的取值范圍小于0,故不存在滿足條件的正整數(shù)n.
解:(1)∵拋物線y=﹣x2+(m﹣1)x+m的頂點P縱坐標為4,
∴4
解得:m1=3,m2=﹣5
∵拋物線對稱軸在y軸右側(cè)
∴0
解得:m>1
∴m=3
∴拋物線為y=﹣x2+2x+3,頂點P(1,4)
∵直線y=kx+k與對稱軸交于點Q
∴Q(1,2k)
∵y=﹣x2+2x+3=0時,解得:x1=﹣1,x2=3
∴A(﹣1,0)
∵ 整理得:x2+(k﹣2)x+k﹣3=0
∴xA+xB=﹣(k﹣2)
∴xB=﹣(k﹣2)﹣xA=﹣(k﹣2)﹣(﹣1)=﹣k+3
∴yB=kxB+k=﹣k2+4k
∴B(﹣k+3,﹣k2+4k)
(2)∵C(0,3),P(1,4),D(0,k),Q/span>(1,2k)
∴當四邊形CDQP的內(nèi)部(包括邊界和頂點)只有4個橫坐標、縱坐標均為整數(shù)的點時,
4個點是C、P、M(0,2)、N(1,3)(如圖1)
∴點D在線段MS上(不與S(0,1)重合),點Q在線段NR上(不與點R(1,2)重合)
∴,解得:1<k
(3)①∵C(0,3),P(1,4)
∴直線CP解析式為y=x+3
∵四邊形CDQP為平行四邊形
∴DQ∥CP,即直線y=kx+k平行直線CP
∴k=1
②不存在滿足條件的正整數(shù)n.
如圖2,過點F作FH⊥EG于點H
∴∠FHE=∠FHG=90°
∵k=1
∴直線AB:y=x+1
∵點E在線段DB上橫坐標為a,EG∥y軸交拋物線于點G
∴E(a,a+1),G(a,﹣a2+2a+3)
∵點F在線段DB上橫坐標為a+n
∴FH=xF﹣xE=n,F(a+n,a+n+1)
∴GH=yG﹣yF=﹣a2+2a+3﹣(a+n+1)=﹣a2+a+2﹣n
∵Rt△FGH中,tan∠EGF
∴GH=2FH
∴﹣a2+a+2﹣n=2n,整理得:a2﹣a+3n﹣2=0
∵滿足tan∠EGF的點E有兩個,
∴關于a的方程a2﹣a+3n﹣2=0有兩個不相等的實數(shù)根
∴△=1﹣4(3n﹣2)>0
解得:0<n
∴不存在正整數(shù)n,使?jié)M足tan∠EGF的點E有兩個.
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【題目】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分,圖象過點A(-3,0),對稱軸為直線x=-1,給出四個結(jié)論:①c>0;② 2a-b=0;③<0;④若點為函數(shù)圖象上的兩點,則y1<y2,其中,正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A.1個B.2個C.3個D.4個
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【題目】為了豐富同學們的知識,拓展閱讀視野,學習圖書館購買了一些科技、文學、歷史等書籍,進行組合搭配成、、三種套型書籍,發(fā)放給各班級的圖書角供同學們閱讀,已知各套型的規(guī)格與價格如下表:
套型 | 套型 | 套型 | |
規(guī)格(本/套) | 12 | 9 | 7 |
價格(元/套) | 200 | 150 | 120 |
(1)已知搭配、兩種套型書籍共15套,需購買書籍的花費是2120元,問、兩種套型各多少套?
(2)若圖書館用來搭配的書籍共有2100本,現(xiàn)將其搭配成、兩種套型書籍,這兩種套型的總價為30750元,求搭配后剩余多少本書?
(3)若圖書館用來搭配的書籍共有122本,現(xiàn)將其搭配成、、三種套型書籍共13套,且沒有剩余,請求出所有搭配的方案.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,點D在AC上,將△ABD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△CBE.
(1)求∠DCE的度數(shù);
(2)當AC=4,AD:DC=1:3時,求DE的長.
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【題目】社會主義核心價值觀是社會主義核心價值體系最核心的體現(xiàn),踐行社會主義和興價值觀也是每一名中學生的責任.某校開展了社會主義核心價值觀演講比賽,學習在演講比賽活動中,對全校學生用A、B、C、D四個等級進行評分,現(xiàn)從中隨機抽取若干名學生進行調(diào)查,繪制出了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請你根據(jù)圖中的信息回答下列問題:
(1)共抽取了多少名學生進行調(diào)查?
(2)將圖甲中的條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)求出圖乙中B等級所占圓心角的度數(shù);
(4)某班有男、女各2名學生報名參加演講比賽,若該班班主任從中選2名學生最終參加校級比賽,試用列表或畫樹狀圖的方法,求恰好選中一男一女的概率.
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【題目】如圖,在等邊△ABC中, .動點P從點B出發(fā),以每秒2個單位長度的速度向終點A運動;同時動點Q從點A出發(fā),以每秒1個單位長度的速度向終點C運動.作PM⊥BC于點M,連結(jié)PQ.以PM、PQ為鄰邊作□PMNQ,設□PMNQ與△ABC重疊部分圖形的面積為S,點Q的運動時間為t秒.
(1)_____________(用含t的代數(shù)式表示).
(2)當四邊形PMNQ是菱形時,求t的值.
(3)求S與t之間的函數(shù)關系式.
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【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,弦CD⊥AB,垂足為點E,CF⊥AF,且CF=CE.
(1)求證:CF是⊙O的切線;
(2)若sin∠BAC=,求的值.
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【題目】如圖,四邊形ABCD是正方形,點E、F分別在線段BC、DC上,線段AE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后與線段AF重合.若,則旋轉(zhuǎn)的角度是( )
A.B.
C.D.
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【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,PC切⊙O于點P,過A作直線AC⊥PC交⊙O于另一點D,連接PA、PB.
(1)求證:AP平分∠CAB;
(2)若P是直徑AB上方半圓弧上一動點,⊙O的半徑為2,則
①當弦AP的長是_____時,以A,O,P,C為頂點的四邊形是正方形;
②當的長度是______時,以A,D,O,P為頂點的四邊形是菱形.
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