【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線y= 與x軸交于點(diǎn)A(﹣2,0)和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C(0,﹣3),經(jīng)過點(diǎn)A的射線AM與y軸相交于點(diǎn)E,與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為F,且.
(1)求這條拋物線的表達(dá)式,并寫出它的對稱軸;
(2)求∠FAB的余切值;
(3)點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn),點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn),且∠AFP=∠DAB,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】拋物線的解析式為y=.拋物線的對稱軸為x=1;(2);(3)(0,6)或P(0,﹣).
【解析】試題分析:(1)根據(jù)代入法求出函數(shù)的解析式,然后根據(jù)對稱軸的關(guān)系式求出對稱軸;
(2)過點(diǎn)F作FM⊥x軸,垂足為M,設(shè)E(0,t),則OE=t,然后根據(jù)題意得到用t表示的F點(diǎn)的坐標(biāo),代入解析式可求得t的值,然后根據(jù)∠FAB的余切值;
(3)由C點(diǎn)的坐標(biāo)求出D點(diǎn)的坐標(biāo),然后根據(jù)∠DAB的余切值求出∠DAB=∠BAF,然后分情況討論:①當(dāng)點(diǎn)P在AF的上方和②當(dāng)點(diǎn)P在AF的下方,求出P點(diǎn)的坐標(biāo).
試題解析:(1)把C(0,﹣3)代入得:c=﹣3,
∴拋物線的解析式為y=+bx﹣3.
將A(﹣2,0)代入得:×(﹣2)2﹣2b﹣3=0,解得b=﹣,
∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣3.
∴拋物線的對稱軸為x=﹣=1.
(2)過點(diǎn)F作FM⊥x軸,垂足為M.
設(shè)E(0,t),則OE=t.
∵,
∴==.
∴F(6,4t).
將點(diǎn)F(6,4t)代入y=x2﹣x﹣3得:×62﹣×6﹣3=0,解得t=.
∴cot∠FAB==.
(3)∵拋物線的對稱軸為x=1,C(0,﹣3),點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn),
∴D(2,﹣3).
∴cot∠DAB=,
∴∠FAB=∠DAB.
如下圖所示:
當(dāng)點(diǎn)P在AF的上方時(shí),∠PFA=∠DAB=∠FAB,
∴PF∥AB,
∴yp=yF=6.
由(1)可知:F(6,4t),t=.
∴F(6,6).
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,6).
當(dāng)點(diǎn)P在AF的下方時(shí),如下圖所示:
設(shè)FP與x軸交點(diǎn)為G(m,0),則∠PFA=∠FAB,可得到FG=AG,
∴(6﹣m)2+62=(m+2)2,解得:m=,
∴G(,0).
設(shè)PF的解析式為y=kx+b,將點(diǎn)F和點(diǎn)G的坐標(biāo)代入得:,
解得:k=,b=﹣.
∴P(0,﹣).
綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,6)或P(0,﹣).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形中,,,點(diǎn)沿邊從點(diǎn)向點(diǎn)以的速度移動(dòng);同時(shí),點(diǎn)從點(diǎn)沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng),設(shè)點(diǎn)、移動(dòng)的時(shí)間為.問:
當(dāng)為何值時(shí)的面積等于?
當(dāng)為何值時(shí)是直角三角形?
是否存在的值,使的面積最小,若存在,求此時(shí)的值及此時(shí)的面積;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】當(dāng)你站在博物館的展覽廳中時(shí),你知道站在何處觀賞最理想嗎?如圖,設(shè)墻壁上的展品最高點(diǎn)P距地面2.5米,最低點(diǎn)Q距地面2米,觀賞者的眼睛F距地面1.6米,當(dāng)視角∠PEQ最大時(shí),站在此處觀賞最理想,則此時(shí)E到墻壁的距離為( )米.
A. 1 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若關(guān)于x的函數(shù)y=(a+2)x2﹣(2a﹣1)x+a﹣2的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn),則a的值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)如圖1,四邊形中,,點(diǎn)為邊的中點(diǎn),連接并延長交的延長線于點(diǎn),求證:.(表示面積)
(2)如圖2,在中,過邊的中點(diǎn)任意作直線,交邊于點(diǎn),交的延長線于點(diǎn),試比較與的面積,并說明理由.
(3)如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中,已知一次函數(shù)的圖像過點(diǎn)且分別于軸正半軸,軸正半軸交于點(diǎn)、,請問的面積是否存在最小值?若存在,求出此時(shí)一次函數(shù)關(guān)系式;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,O為矩形ABCD的中心,以D為圓心1為半徑作⊙D,P為⊙D上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接AP、OP,則△AOP面積的最大值為( 。
A. 4 B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某超市第一次用3000元購進(jìn)某種干果銷售,第二次又調(diào)撥9000元購進(jìn)該種干果,但第二次的進(jìn)價(jià)比第一次的進(jìn)價(jià)提高了20%,購進(jìn)干果數(shù)量是第一次的2倍還多300千克,如果超市先按每千克9元的價(jià)格出售,當(dāng)大部分干果出售后,最后的600千克按原售價(jià)的7折售完,超市兩次銷售這種干果共盈利________元.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,
(1)作出關(guān)于軸對稱的,并寫出三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)請計(jì)算的面積;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解某校落實(shí)新課改精神的情況,現(xiàn)以該校九年級二班的同學(xué)參加課外活動(dòng)的情況為樣本,對其參加“球類”“繪畫類”“舞蹈類”“音樂類”“棋類”活動(dòng)的情況進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì),并繪制了如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖.
(1)參加音樂類活動(dòng)的學(xué)生人數(shù)為____人,參加球類活動(dòng)的人數(shù)的百分比為____;
(2)請把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)若該校學(xué)生共600人,那么參加棋類活動(dòng)的大約有多少人?
(4)該班參加舞蹈類活動(dòng)的4位同學(xué)中,有1位男生(用E表示)和3位女生(分別用F,G,H表示),現(xiàn)準(zhǔn)備從中選取兩名同學(xué)組成舞伴,請用列表或畫樹狀圖的方法求恰好選中一男一女的概率.
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