Question

如圖，在等腰△ABC中，AB=BC，∠A=30°將△ABC繞點B順時針旋轉30°，得△A₁BC₁，A₁B交AC于點E，A₁C₁分別交AC、BC于D、F兩點．

（1）證明：△ABE≌△C₁BF；

（2）證明：EA₁=FC；

（3）試判斷四邊形ABC₁D的形狀，并說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵等腰△ABC中，AB=BC，∠A=30°將△ABC繞點B順時針旋轉30°，得△A₁BC₁，

∴AB=BC₁=A₁B=BC，∠ABE=∠C₁BF，∠A=∠C₁=∠A₁=∠C，

在△ABE和△C₁BF中，

，

∴△ABE≌△C₁BF（ASA）；

（2）證明：∵△ABE≌△C₁BF，

∴EB=BF．

又∵A₁B=CB，

∴A₁B﹣EB=CB﹣BF，

∴EA₁=FC；

（3）答：四邊形ABC₁D是菱形．

證明：∵∠A₁=∠C=30°，∠ABA₁=∠CBC₁=30°，

∠A₁=∠C=∠ABA₁=∠CBC₁．

∴AB∥C₁D，AD∥BC₁，

∴四邊形ABC₁D是平行四邊形

∵AB=BC₁，

∴四邊形ABC₁D是菱形．