【題目】如圖,四邊形ABCD中,AB=AC=AD,AC平分∠BAD,點P是AC延長線上一點,且PD⊥AD.
(1)證明:∠BDC=∠PDC;
(2)若AC與BD相交于點E,AB=1,CE:CP=2:3,求AE的長.
【答案】
(1)證明:∵AB=AD,AC平分∠BAD,
∴AC⊥BD,
∴∠ACD+∠BDC=90°,
∵AC=AD,
∴∠ACD=∠ADC,
∴∠ADC+∠BDC=90°,
∴∠BDC=∠PDC;
(2)解:過點C作CM⊥PD于點M,
∵∠BDC=∠PDC,
∴CE=CM,
∵∠CMP=∠ADP=90°,∠P=∠P,
∴△CPM∽△APD,
∴ = ,
設CM=CE=x,
∵CE:CP=2:3,
∴PC= x,
∵AB=AD=AC=1,
∴ = ,
解得:x= ,
故AE=1﹣ = .
【解析】(1)直接利用等腰三角形的性質(zhì)結合互余的定義得出∠BDC=∠PDC;(2)首先過點C作CM⊥PD于點M,進而得出△CPM∽△APD,求出EC的長即可得出答案.
【考點精析】通過靈活運用相似三角形的判定與性質(zhì),掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,∠BAC=50°,P是BC邊上一點,將△ABP繞點A逆時針旋轉50°,點P旋轉后的對應點為點P′.
(1)畫出旋轉后的三角形;
(2)連接PP′,若∠BAP=20°,求∠PP′C的度數(shù).
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【題目】計算:
(1);
(2)先化簡,再選一個你喜歡的數(shù)求值.
(1)(﹣2016)0+| ﹣2|+ +3tan30°
(2)先化簡(a2﹣a)÷ ,再選一個你喜歡的數(shù)求值.
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,BD為一條對角線,AD∥BC,AD=2BC,∠ABD=90°,E為AD的中點,連接BE.
(1)求證:四邊形BCDE為菱形;
(2)連接AC,若AC平分∠BAD,BC=1,求AC的長.
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【題目】定義正整數(shù)m,n的運算,m△n=
例2△3=,3△4=
(1)3△2的值為 運算符號“△”滿足交換律嗎?回答 (填“是”或者“否”)
(2)探究:計算2△10=的值.
為解決上面的問題,我們運用數(shù)形結合的思想方法,通過不斷的分割一個面積為1的正方形,把數(shù)量關系和幾何圖形結合起來,最終解決問題.
如圖所示,第1次分割把正方形的面積二等分,其中陰影部分的面積為,第2次,把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分,陰影分的面積之和為,第3次分割把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分……以此類推……第10次分割,把第9次分割后的圖中的空日部分的面積最后二等分,所有陰影部分面積之和為.
根據(jù)第10次分割圖可以得出計結果:=1﹣,進一步分析可得出=1﹣,
(3)已知n是正整數(shù),計算3×(4△n)=的結果.
按指定方法解決問題請仿照以上做法,只需畫出第n次分割圖并作標注,寫出最終結果的推理步驟,或借用以上結論進行推理,寫出必要的步驟.
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【題目】如圖,⊙O是△ABC 的外接圓,AB=AC,BD是⊙O的直徑,PA∥BC,與DB的延長線交于點P,連接AD.
(1)求證:PA是⊙O的切線;
(2)若AB= ,BC=4,求AD的長.
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【題目】已知正方形OABC的邊OC、OA分別在x、y軸的正半軸上,點B坐標為(10,10),點P從O出發(fā)沿O→C→B運動,速度為1個單位每秒,連接AP.設運動時間為t.
(1)若拋物線y=﹣(x﹣h)2+k經(jīng)過A,B兩點,求拋物線函數(shù)關系式;
(2)當0≤t≤10時,如圖1,過點O作OH⊥AP于點H,直線OH交邊BC于點D,連接AD,PD,設△APD的面積為S,求S的最小值;
(3)在圖2中以A為圓心,OA長為半徑作⊙A,當0≤t≤20時,過點P作PQ⊥x軸(Q在P的上方),且線段PQ=t+12:
①當t在什么范圍內(nèi),線段PQ與⊙A只有一個公共點?當t在什么范圍內(nèi),線段PQ與⊙A有兩個公共點?
②請將①中求得的t的范圍作為條件,證明:當t取該范圍內(nèi)任何值時,線段PQ與⊙A總有兩個公共點.
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【題目】某校計劃成立學生社團,要求每一位學生都選擇一個社團,為了了解學生對不同社團的喜愛情況,學校隨機抽取了部分學生進行“我最喜愛的一個學生社團”問卷調(diào)查,規(guī)定每人必須并且只能在“文學社團”、“科學社團”、“書畫社團”、“體育社團”和“其他”五項中選擇一項,并將統(tǒng)計結果繪制了如下兩個不完整的統(tǒng)計圖表.
社團名稱 | 人數(shù) |
文學社團 | 18 |
科技社團 | a |
書畫社團 | 45 |
體育社團 | 72 |
其他 | b |
請解答下列問題:
(1)a= , b=;
(2)在扇形統(tǒng)計圖中,“書畫社團”所對應的扇形圓心角度數(shù)為;
(3)若該校共有3000名學生,試估計該校學生中選擇“文學社團”的人數(shù).
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【題目】法國的“小九九”從“一一得一”到“五五二十五”和我國的“小九九”是一樣的,后面的就改用手勢了.下面兩個圖框是用法國“小九九”計算7×8和8×9的兩個示例.若用法國的“小九九”計算7×9,左、右手依次伸出手指的個數(shù)是( )
A. 2,3B. 3,3C. 2,4D. 3,4
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