Question

【題目】已知：如圖，B、C分別是∠PAQ的兩邊AP，AQ上的點(diǎn)，直線(xiàn)l垂直平分BC。

（1）尺規(guī)作圖：在直線(xiàn)1上求作一點(diǎn)O，使得點(diǎn)O到AP、AQ距離相等(不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)；

（2）過(guò)O點(diǎn)作OE⊥AP，OF⊥AQ，垂足分別為E、F。求證BE=CF

Answer 1

【答案】（1）圖見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)題意作∠QAP的角平分線(xiàn)與l的交點(diǎn)即為O點(diǎn)；

（2）連接BO、CO，再根據(jù)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得OE=OF，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得BO=CO，然后利用“HL”證明Rt△BOE和Rt△COF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可．

(1)如圖所示，AO是∠QAP的角平分線(xiàn)，AO與l的交點(diǎn)即為所求O點(diǎn)；

(2)證明：連接BO、CO，

∵AO是∠BAC的平分線(xiàn)，

∴OE=OF，

∵l是BC邊的垂直平分線(xiàn)，

∴BO=CO，

在Rt△BOE和Rt△COF中，

∴Rt△BOE≌Rt△COF(HL)，

∴BE=CF.