Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線AB：y=-2x+8交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B，以AB為底作等腰三角形△ABC的頂點(diǎn)C恰好落在y軸上，連接BC，直線x=2交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)G，連接CD．

（1）求證：∠OCB=2∠CBA；

（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)和直線BC的解析式；

（3）求△DEB的面積；

（4）在x軸上存在一點(diǎn)P使PD-PC最長(zhǎng)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）C（0，3），直線BC解析式為y=-x+3；（3）；（4）P（-6，0）．

【解析】

（1）利用等腰三角形的性質(zhì)和外角的性質(zhì)可證得結(jié)論；

（2）可先求得A、B的坐標(biāo)，則可求得OA=8、OB=4，在設(shè)OC=x，則AC=BC=8-x，在Rt△OBC中由勾股定理可列方程，可求得OC的長(zhǎng)，則可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求得直線BC的解析式；

（3）由直線AB、BC的解析式可分別求得點(diǎn)D、E的坐標(biāo)，則可求得DE的長(zhǎng)，可求得△DEB的面積；

（4）利用三角形三邊關(guān)系可知PD-PC＜CD，當(dāng)P、D、C三點(diǎn)在一條線上時(shí)，則有PD-PC=CD，此時(shí)其差最長(zhǎng)，延長(zhǎng)CD交x軸于點(diǎn)P，則該點(diǎn)即為P點(diǎn)，由C、D的坐標(biāo)可求得直線CD的解析式，則可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（1）證明：

∵△ABC為等腰三角形，

∴∠CAB=∠CBA，∠OCB為外角，

∴∠OCB=∠CAB+∠CBA，

∴∠OCB=2∠CBA；

（2）在y=-2x+8中，令x=0可得y=8，令y=0可求得x=4，

∴A（0，8），B（4，0），

∴OA=8，OB=4，

設(shè)OC=x，則AC=BC=8-x，

在Rt△OBC中，由勾股定理可得BC2=OC2+OB2，

即（8-x）2=x2+42，解得x=3，

∴C（0，3），

設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，

把B、C點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得

，解得，

∴直線BC解析式為y=-x+3；

（3）直線x=2交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)G，

∴D（2，4），E（2，），G（2，0），

∴DE=4-=，且B（4，0），

∴BG=4-2=2，

∴S△DEB=DEBG=××2=；

（4）∵PD-PC＜CD，

∴當(dāng)P、D、C三點(diǎn)在一條線上時(shí)，則有PD-PC=CD，此時(shí)其差最長(zhǎng)，

延長(zhǎng)CD交x軸于點(diǎn)P，則該點(diǎn)即為P點(diǎn)，

設(shè)直線CD解析式為y=mx+n，

把C、D坐標(biāo)代入可得，解得，

∴直線CD解析式為y=x+3，

令y=0可得x+3=0，解得x=-6，

∴P（-6，0）．