Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2在第一象限內經過的整數點(橫坐標、縱坐標都為整數的點)依次為A1、A2、A3…An，….將拋物線y＝x2沿直線L：y＝x向上平移，得一系列拋物線，且滿足下列條件：①拋物線的頂點M1、M2、M3、…Mn，…都在直線L：y＝x上；②拋物線依次經過點A1、A2、A3…An、….則頂點M2014的坐標為______________．

Answer 1

【答案】(4027，4027)

【解析】試題解析：M1（a1，a 1）是拋物線y1=（x- a 1）2+a1的頂點，

拋物線y=x2與拋物線y1=（x- a 1）2+ a 1相交于A1，

得x2=（x- a 1）2+ a 1，

即2a1x= a 12+ a 1，

x=（a1+1）．

∵x為整數點

∴a1=1，

M1（1，1）；

M2（a2，a 2）是拋物線y2=（x- a 2）2+ a 2=x2-2 a 2x+ a 22+ a 2頂點，

拋物線y=x2與y2相交于A2，

x2=x2-2 a 2x+ a 22+ a 2，

∴2 a 2x= a 22+ a 2，

x=（a 2+1）．

∵x為整數點，

∴a 2=3，

M2（3，3），

M3（a 3，a 3）是拋物線y2=（x- a 3）2+ a 3=x2-2 a 3x+ a 32+ a 3頂點，

拋物線y=x2與y3相交于A3，

x2=x2-2 a 3x+ a 32+ a 3，

∴2 a 3x= a 32+ a 3，

x=（a 3+1）．

∵x為整數點

∴a 3=5，

M3（5，5），

∴點M2014，兩坐標為：2014×2-1=4027，

∴M2014（4027，4027），