Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=

3

x+3

3

的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），連接BC．
（1）求證：△ABC是等邊三角形；
（2）點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上，連接AP，作AP的垂直平分線，垂足為點(diǎn)D，并與y軸交于點(diǎn)E，分別連接EA、EP．
①若CP=6，直接寫(xiě)出∠AEP的度數(shù)；
②若點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)（P不與點(diǎn)C重合），∠AEP的度數(shù)是否變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，求出∠AEP的度數(shù)；
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)在BC的延長(zhǎng)線上勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度．EC與AP交于點(diǎn)F，設(shè)△AEF的面積為S₁，△CFP的面積為S₂，y=S₁-S₂，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒時(shí)，求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）由一次函數(shù)y=

3

x+3

3

求出A、B兩點(diǎn)，再根據(jù)兩點(diǎn)間坐標(biāo)公式求得AB=BC=AC，則可證△ABC為等邊三角形．
（2）①因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，CP=AC，DE是AP的中垂線，故C、D、E三點(diǎn)共線，進(jìn)而求出四邊形AEPC是菱形，可以求解；
②連接EC，由于E在y軸上，即E在AC的垂直平分線上，所以EA=EC，故∠ECA=∠EAC，而E在AP的垂直平分線上，同理可求得EA=EP，即EC=EP=EA，那么∠ECP=∠EPC；由（1）知∠ACP=∠ECA+∠ECP=120°，那么∠EAC、∠EPC的度數(shù)和也是120°，由此可求得∠AEP=360°-240°=120°，即∠AEP的度數(shù)不變．
（3）由于S₁、S₂的面積無(wú)法直接求出，因此可求（S₁-S₂）這個(gè)整體的值，將其適當(dāng)變形可得（S₁+S_△ACF）-（S₂+S_△ACF），即S₁-S₂的值可由△ACE和△ACP的面積差求得，過(guò)E作EM⊥PC于M，由（2）知△ECP是等腰三角形，則CM=PM=

t

2

，在Rt△BEM中，∠EBM=30°，BM=6+

t

2

，通過(guò)解直角三角形即可求得BE的長(zhǎng)，從而可得到OE的長(zhǎng)，到此，可根據(jù)三角形的面積公式表示出△ACE和△ACP的面積，從而求得S₁-S₂的表達(dá)式，由此得解．

解答：解：（1）由一次函數(shù)y=

3

x+3

3

，
則A（-3，0），B（0，3

3

），C（3，0）．
再由兩點(diǎn)間距離公式可得出：AB=BC=AC=6，
∴△ABC為等邊三角形．

（2）①，連接CD，由題意得，C、D、E三點(diǎn)共線，
∵E點(diǎn)在y軸上，且A、C關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴E點(diǎn)在線段AC的垂直平分線上，
即EA=EC；
∵E點(diǎn)在線段AP的垂直平分線上，則EA=EP，
∴EA=EP=EC，
∴∠EAC=∠ECA，∠ECP=∠EPC；
∵∠BCA=60°，即∠ACP=∠ECA+∠ECP=120°，
∴∠EAC+∠EPC=120°，即∠EAC+∠EPC+∠ACP=240°，
∴∠AEP=120°．

②連接EC，
∵E點(diǎn)在y軸上，且A、C關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴E點(diǎn)在線段AC的垂直平分線上，
即EA=EC；
∵E點(diǎn)在線段AP的垂直平分線上，則EA=EP，
∴EA=EP=EC，
∴∠EAC=∠ECA，∠ECP=∠EPC；
∵∠BCA=60°，即∠ACP=∠ECA+∠ECP=120°，
∴∠EAC+∠EPC=120°，即∠EAC+∠EPC+∠ACP=240°，
故∠AEP=360°-240°=120°，
∴∠AEP的度數(shù)不會(huì)發(fā)生變化，仍為120°．

（3）如圖，過(guò)E作EM⊥BP于M、過(guò)A作AN⊥BP于N；
由（2）知：△CEP是等腰三角形，則有：
CM=MP=

1

2

CP=

t

2

；
∴BM=BC+CM=6+

t

2

；
在Rt△BEM中，∠MBE=30°，則有：BE=

2 3

3

BM=

2 3

3

（6+

t

2

）；
∴OE=BE-OB=

2 3

3

（6+

t

2

）-3

3

=

3

+

3

3

t；
故S_△AEC=

1

2

AC•OE=

1

2

×6×（

3

+

3

3

t）=3

3

+

3

t，
S_△ACP=

1

2

PC•AN=

1

2

×t×3

3

=

3 3

2

t；
∵S_△AEC=S₁+S，S_△ACP=S+S₂，
∴S_△AEC-S_△ACP=S₁+S-（S2+S）=S₁-S₂
=3

3

+

3

t-

3 3

2

t=3

3

-

3

2

t，
即y=3

3

-

3

2

t．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一次函數(shù)與三角形的相關(guān)知識(shí)，涉及到：等邊三角形、等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形面積的求法，解直角三角形等重要知識(shí)點(diǎn)，此題的難點(diǎn)在于第（3）問(wèn)，由于S₁、S₂的面積無(wú)法直接求出，能夠用△AEC、△ACP的面積差來(lái)表示S₁-S₂的值是解答此題的關(guān)鍵．