Question

如圖，在平面直角坐標系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A（-2，0）、B（0，1）、C（d，2）．
（1）求d的值；
（2）將△ABC沿x軸的正方向平移，在第一象限內B、C兩點的對應點B′、C′正好落在某反比例函數(shù)圖象上．請求出這個反比例函數(shù)和此時的直線B′C′的解析式；
（3）在（2）的條件下，直線BC交y軸于點G．問在反比例函數(shù)圖象上是否存點P，使得△PGB′是以GB′為直角邊的直角形？如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過C作CN垂直于x軸，交x軸于點N，由A、B及C的坐標得出OA，OB，CN的長，再證明Rt△CNA≌Rt△AOB，由∠CAB=90°，根據(jù)全等三角形的對應邊相等可得出CN=0A，AN=0B，由AN+OA求出ON的長，再由C在第二象限，可得出d的值；
（2）由第一問求出的C與B的橫坐標之差為3，根據(jù)平移的性質得到縱坐標不變，故設出C′（m，2），則B′（m+3，1），再設出反比例函數(shù)解析式，將C′與B′的坐標代入得到關于k與m的兩方程，消去k得到關于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可確定出k的值，得到反比例函數(shù)解析式，設直線B′C′的解析式為y=ax+b，將C′與B′的坐標代入，得到關于a與b的二元一次方程組，求出方程組的解得到a與b的值，即可確定出直線B′C′的解析式；
（3）此問題要分兩種情況①當∠PGB′=90°時，PG²+GB′²=PB′²，②當∠P″B′G=90°時，P″B′²+GB′²=GP″²，然后利用勾股定理分別進行計算即可．

解答：解：（1）作CN⊥x軸于點N．   
∵在Rt△CNA和Rt△AOB中，

NC=AO AC=AB

，
∴Rt△CNA≌Rt△AOB（HL），
則AN=BO=1，NO=NA+AO=3，且點C在第二象限，
∴d=-3；

（2）設反比例函數(shù)為y=

k

x

，點C′和B′在該比例函數(shù)圖象上，
設C′（m，2），則B′（m+3，1）
把點C′和B′的坐標分別代入y=

k

x

，得k=2m；k=m+3，
∴2m=m+3，m=3，則k=6，反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=

6

x

．
得點C′（3，2）；B′（6，1）．
設直線C′B′的解析式為y=ax+b，把C′、B′兩點坐標代入得：

3a+b=2 6a+b=1

，
解得：

a=- 1 3 b=3

；
∴直線C′B′的解析式為y=-

1

3

x+3．

（3）設P點坐標為（x，y），
∵直線C′B′的解析式為y=-

1

3

x+3，
∴x=0時，y=3，
∴G點坐標為：（0，3），
①當∠PGB′=90°時，
∴PG²+GB′²=PB′²，
∴（y-3）²+x²+6²+（3-1）²=（6-x）²+（y-1）²，
∵y=

6

x

，
∴（

6

x

-3）²+x²+6²+（3-1）²=（6-x）²+（

6

x

-1）²，
解得：x₁=-2，x₂=1，
∴當x=-2時，y=-3，當x=1時，y=6，
∴P（1，6），P′（-2，-3），
②當∠P″B′G=90°時，
∴P″B′²+GB′²=GP″²，
∴（6-x）²+（y-1）²+6²+（3-1）²=（y-3）²+x²，
∵y=

6

x

，
∴（6-x）²+（

6

x

-1）²+6²+（3-1）²=（

6

x

-3）²+x²
解得：x₃=-

1

3

，x₄=6，
∴當x=-

1

3

時，y=-18，
∴P″（-

1

3

，-18），
當x=6時，y=1，P與B′重合舍去，
綜上所述，P點坐標為：P（1，6），P′（-2，-3），P″（-

1

3

，-18）．

點評：此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合運用，以及全等三角形的判定與性質，勾股定理，坐標與圖形性質，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平移的性質，是一道綜合性較強的試題，要求學生掌握知識要全面．