Question

【題目】如圖（1），∠AOB=45°，點(diǎn)P、Q分別是邊OA，OB上的兩點(diǎn)，且OP=2cm．將∠O沿PQ折疊，點(diǎn)O落在平面內(nèi)點(diǎn)C處．
（1）①當(dāng)PC∥QB時(shí)，求OQ的長(zhǎng)度；
②當(dāng)PC⊥QB時(shí)，求OQ的長(zhǎng)．
（2）當(dāng)折疊后重疊部分為等腰三角形時(shí)，求OQ的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①當(dāng)PC∥QB時(shí)，∠O=∠CPA，

由折疊的性質(zhì)得：∠C=∠O，OP=CP，

∴∠CPA=∠C，

∴OP∥QC，

∴四邊形OPCQ是平行四邊形，

∴四邊形OPCQ是菱形，

∴OQ=OP=2cm；

故答案為：2cm；

②當(dāng)PC⊥QB時(shí)，分兩種情況：

（i）如圖1所示：設(shè)OQ=xcm，

∵∠O=45°，

∴△OPM是等腰直角三角形，

∴OM= OP= ，

∴QM= ﹣x，

由折疊的性質(zhì)得：∠C=∠O=45°，CQ=OQ=x，

∴△CQM是等腰直角三角形，

∴QC= QM

∴x= （ ﹣x），

解得：x=2 ﹣2，

即OQ=2 ﹣2；

（ii）如圖2所示：同（i）得：OQ=2 +2；

綜上所述：當(dāng)PC⊥QB時(shí)，OQ的長(zhǎng)為2 ﹣2，或2 +2．

（2）

解：當(dāng)折疊后重疊部分為等腰三角形時(shí)，符合條件的點(diǎn)Q共有5個(gè)；

①點(diǎn)C在∠AOB的內(nèi)部時(shí)，四邊形OPCQ是菱形，OQ=OP=2cm；

②當(dāng)點(diǎn)C在∠AOB的一邊上時(shí)，△OPQ是等腰直角三角形，OQ= 或2 ；

③當(dāng)點(diǎn)C在∠AOB的外部時(shí)，分兩種情況：

（i）如圖3所示：PM=PQ，則∠PMQ=∠PQM=∠O+∠OPQ，

由折疊的性質(zhì)得：∠OPQ=∠MPQ，

設(shè)∠OPQ=∠MPQ=x，

則∠PMQ=∠PQM=45°+x，

在△OPM中，由三角形內(nèi)角和定理得：45°+x+x+45°+x=180°，

解得：x=30°，

∴∠OPQ=30°，

作QN⊥OP于N，設(shè)ON=a，

∵∠O=45°，

則QN=ON=a，OQ= a，PN= QN= a，

∵ON+PN=OP，

∴a+ a=2，

解得：a= ﹣1，

∴OQ= （ ﹣1）= ﹣ ；

（ii）如圖4所示：PQ=MQ，作QN⊥OA于N，

同①得：OQ= + ；

綜上所述：當(dāng)折疊后重疊部分為等腰三角形時(shí)，OQ的長(zhǎng)為2cm或（2 ﹣2，）cm或（2 +2）cm或（ ﹣ ）cm或（ + ）cm．

【解析】（1）①由平行線的性質(zhì)得出∠O=∠CPA，由折疊的性質(zhì)得出∠C=∠O，OP=CP，證出∠CPA=∠C，得出OP∥QC，證出四邊形OPCQ是菱形，得出OQ=OP=2cm即可；
②當(dāng)PC⊥QB時(shí)，分兩種情況：設(shè)OQ=xcm，證出△OPM是等腰直角三角形，得出OM= OP= ，QM= ﹣x，證出△CQM是等腰直角三角形，得出QC= QM，得出方程x= （ ﹣x），解方程即可；（ii）同（i）得出：OQ=2 +2；即可得出結(jié)論；（2）當(dāng)折疊后重疊部分為等腰三角形時(shí)，符合條件的點(diǎn)Q共有5個(gè)；點(diǎn)C在∠AOB的內(nèi)部或一邊上時(shí)，由折疊的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及解直角三角形即可求出OQ的長(zhǎng)；點(diǎn)C在∠AOB的外部時(shí)，同理求出OQ的長(zhǎng)即可．