Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸分別交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)，點(diǎn)，且.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過P作交BC于D，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)M是位于線段BC上方的拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)恰好等于中的某個(gè)角時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，S最大，此時(shí)；（3）或

【解析】

（1）先根據(jù)射影定理求出點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為：，將點(diǎn)代入求出，然后化為一般式即可；

（2）過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)E，設(shè)，用待定系數(shù)法分別求出直線BC，直線AC，直線PD的解析式，表示出點(diǎn)E，點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式列出二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；

（3）分兩種情況求解：當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí).

（1）∵，，

∴，.

∵，

∴由射影定理可得：，

∴，∴點(diǎn)，

設(shè)拋物線的解析式為：，將點(diǎn)代入上式得：，

∴拋物線的解析式為：；

（2）過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)E，設(shè)，

設(shè)，

把，代入得

，

∴，

∴，

∴，

同樣的方法可求，

故可設(shè)，把代入得，

聯(lián)立解得：，

∴，

，

故當(dāng)時(shí)，S最大，此時(shí)；

（3）由題知，，

當(dāng)時(shí)，，

∴點(diǎn)C與點(diǎn)M關(guān)于對稱軸對稱，

∴；

當(dāng)時(shí)，過M作于F，過F作y軸的平行線，交x軸于G，交過M平行于x軸的直線于K，

∵∠，BFM=∠BGF，

∴△MFK∽△FGB，

同理可證：，

∴，，

設(shè)，則，

∴，

∴，代入，

解得

，或（舍去），

∴，

故或.