Question

有兩張完全重合的矩形紙片，小亮同學將其中一張繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形AMEF（如圖1），連接BD、MF，若此時他測得BD=8cm，∠ADB=30度．
（1）試探究線段BD與線段MF的關(guān)系，并簡要說明理由；
（2）小紅同學用剪刀將△BCD與△MEF剪去，與小亮同學繼續(xù)探究．他們將△ABD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得△AB₁D₁，AD₁交FM于點K（如圖2），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為β（0°＜β＜90°），當△AFK為等腰三角形時，請直接寫出旋轉(zhuǎn)角β的度數(shù)；
（3）若將△AFM沿AB方向平移得到△A₂F₂M₂（如圖3），F(xiàn)₂M₂與AD交于點P，A₂M₂與BD交于點N，當NP∥AB時，求平移的距離是多少？

Answer 1

解：（1）BD=MF，BD⊥MF．
延長FM交BD于點N，
由題意得：△BAD≌△MAF．
∴BD=MF，∠ADB=∠AFM．
又∵∠DMN=∠AMF，
∴∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90°，
∴∠DNM=90°，∴BD⊥MF．

（2）當AK=FK時，∠KAF=∠F=30°，
則∠BAB₁=180°-∠B₁AD₁-∠KAF=180°-90°-30°=60°，
即β=60°；
②當AF=FK時，∠FAK==75°，
∴∠BAB₁=90°-∠FAK=15°，
即β=15°；
∴β的度數(shù)為60°或15°

（3）由題意得矩形PNA₂A．設(shè)A₂A=x，則PN=x（如圖3），
在Rt△A₂M₂F₂中，∵F₂M₂=FM=8，
∴A₂M₂=4，A₂F₂=4，∴AF₂=4-x．
∵∠PAF₂=90°，∠PF₂A=30°，
∴AP=AF₂•tan30°=4-x．
∴PD=AD-AP=4-4+x．
∵NP∥AB，∴∠DNP=∠B．
∵∠D=∠D，∴△DPN∽△DAB．
∴．
∴，解得x=6-2．
即A₂A=6-2．
答：平移的距離是（6-2）cm．
分析：（1）有兩張完全重合的矩形紙片，小亮同學將其中一張繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形AMEF（如圖1），得BD=MF，△BAD≌△MAF，推出BD=MF，∠ADB=∠AFM=30°，進而可得∠DNM的大�。�
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出結(jié)論．
（3）求平移的距離是A₂A的長度．在矩形PNA₂A中，A₂A=PN，只要求出PN的長度就行．用△DPN∽△DAB得出：，解得A₂A的大�。�
點評：考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定，全等三角形的判定，平移的性質(zhì)．