Question

有兩張完全重合的矩形紙片，小亮同學(xué)將其中一張繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形AMEF（如圖1），連接BD、MF，若此時(shí)他測(cè)得BD=8cm，∠ADB=30°．
（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出AF的長(zhǎng)；
（2）小紅同學(xué)用剪刀將△BCD與△MEF剪去，與小亮同學(xué)繼續(xù)探究．他們將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△AB₁D₁，AD₁交FM于點(diǎn)K（如圖2），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為β（0°＜β＜90°），當(dāng)△AFK為等腰三角形時(shí)，求△AFK的面積（保留根號(hào)）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△AFM≌△ADB，則AF=AD=BD•cos∠ADB=8×

3

2

=4

3

cm；
（2）當(dāng)△AFK為等腰三角形時(shí)，由于AM＜AF，那么A不能是等腰△AFK的頂點(diǎn)，則分兩種情況：①K為頂點(diǎn)，即AK=FK時(shí)；②F為頂點(diǎn)，即AF=FK．針對(duì)每一種情況，利用三角形的面積公式，可分別求出△AFK的面積．

解答：解：（1）AF=4

3

cm；

（2）△AFK為等腰三角形時(shí)，分兩種情況：
①當(dāng)AK=FK時(shí)，如圖．過(guò)點(diǎn)K作KN⊥AF于N，則KN⊥AF，AN=NF=

1

2

AF=2cm．
在直角△NFK中，∠KNF=90°，∠F=30°，
∴KN=NF•tan∠F=2cm．
∴△AFK的面積=

1

2

×AF×KN=4

3

cm2；
②當(dāng)AF=FK時(shí)，如圖．過(guò)點(diǎn)K作KP⊥AF于P．
在直角△PFK中，∠KPF=90°，∠F=30°，
∴KP=

1

2

KF=2

3

cm．
∴△AFK的面積=

1

2

×AF×KP=12cm²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變化前后，對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．注意（2）中需分情況討論△AFK為等腰三角形時(shí)的不同分類(lèi)，不要漏解．