Question

如圖，DE為半圓的直徑，O為圓心，DE=10，延長DE到A，使得EA=1，直線AC與半圓交于B、C兩點(diǎn)，且∠DAC=30°．
（1）求弦BC的長；
（2）求△AOC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,含30度角的直角三角形,勾股定理

專題：計(jì)算題

分析：（1）過點(diǎn)O作OM⊥BC于M，根據(jù)垂徑定理得BM=CM，由∠DAC=30°得到OM=

1

2

AO=3，再根據(jù)勾股定理可計(jì)算出CM=4，則BC=8；
（2）在Rt△AOM中根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AM=

3

OM=3

3

，則AC=3

3

+4，然后根據(jù)三角形面積公式求解．

解答：解：（1）過點(diǎn)O作OM⊥BC于M，如圖，則BM=CM，
∵直徑DE=10，EA=1，
∴AO=6，
∵∠DAC=30°，
∴OM=

1

2

AO=3，
在Rt△COM中，OC=5，
∴CM=

OC2-OM2

=4，
∴BC=2CM=8；
（2）在Rt△AOM中，∠DAC=30°，OM=3，
∴AM=

3

OM=3

3

，
∴AC=AM+CM=3

3

+4，
∴S_△AOC=

1

2

OM•AC=

1

2

×3×（3

3

+4）=

9 3

2

+6．

點(diǎn)評：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條�。�也考查了勾股定理、含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．