Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)P為∠ACB平分線上的一點(diǎn)，∠ACB=60°，PD⊥CA于D，PE⊥CB于E，點(diǎn)M是線段CP上的一動(dòng)點(diǎn)(不與兩端點(diǎn)C，P重合)，連接DM，EM.

(1)求證:DM=EM;

(2)當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到線段CP的什么位置時(shí)，四邊形PDME為菱形，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2) 當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到線段CP的中點(diǎn)時(shí)，四邊形PDME為菱形，理由見(jiàn)解析.

【解析】

利用角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等得到PD=PE，再根據(jù) Rt△PCD≌Rt△PCE，得到CD=CE，即可證得△DCM≌△ECM，從而得到DM=EM；

首先當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到線段CP的中點(diǎn)時(shí)，四邊形PDME為菱形，由(1)得DM=EM，PD=PE，再根據(jù)M為PC的中點(diǎn)，PD⊥CA和直角三角形PDC，證得DM=PD，即可得到PD=PE=EM=DM，然后證得P四邊形PDME為菱形.

(1)∵PC平分∠ACB，

PD⊥CA，PE⊥CB，

∴PD=PE.

∴Rt△PCD≌Rt△PCE，

∴CD=CE.

在△DMC和△EMC中，

，

∴△DCM≌△ECM，

∴DM=EM.

(2)當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到線段CP的中點(diǎn)時(shí)，四邊形PDME為菱形.

理由如下:

∵M為PC的中點(diǎn)，PD⊥CA，

∴DM=PC，

在直角三角形PDC中.

∵∠ACB=60°，

∴∠PCD=30°，

∴PD=PC，

∴DM=PD.

由(1)得DM=EM，PD=PE，

∴PD=PE=EM=DM，

∴四邊形PDME為菱形.