Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)為O，點(diǎn)A（0，3），B（2，3），C（2，－3），D（0，－3）．點(diǎn)P，Q是長(zhǎng)方形ABCD邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，BC交x軸于點(diǎn)M．點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度沿O→A→B→M的路線做勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q也從點(diǎn)O出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度沿O→D→C→M的路線做勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M時(shí)，兩動(dòng)點(diǎn)均停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，四邊形OPMQ的面積為S．

（1）當(dāng)t＝2時(shí)，求S的值；

（2）若S＜5時(shí)，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)S＝5；(2)1.5＜t＜2或3＜t＜4

【解析】試題分析：設(shè)的面積為 的面積為則
當(dāng)t=2時(shí),點(diǎn)P(0,2),Q(1,3)，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥x軸于點(diǎn).根據(jù)三角形的面積公式分別求出 進(jìn)而得出的值；

設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為則點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為分五種情況進(jìn)行討論：①；②③④⑤ 針對(duì)每一種情況，首先確定出對(duì)應(yīng)范圍內(nèi)點(diǎn) 的位置，再根據(jù)三角形的面積公式求解即可．

試題解析：設(shè)的面積為 的面積為 則

(1)當(dāng)t=2時(shí),點(diǎn)P(0,2),Q(1,3)，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥x軸于點(diǎn).

(2)設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為t，則點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程為2t.

①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在線段OA上，點(diǎn)Q在線段OD上，

此時(shí)四邊形OPMQ不存在，不合題意，舍去.

②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在線段OA上，點(diǎn)Q在線段DC上,

∵S<5，

∴t+3<5，解得t<2.

此時(shí)1.5<t<2.

③當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在線段OA上，點(diǎn)Q在線段CM上,

∵S<5，

∴8t<5，解得t>3.

④當(dāng)3<t<4時(shí)，點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)Q在線段CM上,

∵S<5，

∴112t<5，解得t>3.

此時(shí)3<t<4.

⑤當(dāng)t=4時(shí)，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)Q與M重合，兩動(dòng)點(diǎn)均停止運(yùn)動(dòng),

此時(shí)四邊形OPMQ不存在，不合題意，舍去.

綜上所述，當(dāng)S<5時(shí)，1.5<t<2或3<t<4.