Question

【題目】如圖，點(diǎn)是等邊三角形內(nèi)一點(diǎn),將繞點(diǎn) .按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得, 連接.

（1）求證:是等邊三角形;

（2）當(dāng)時(shí)， 試判斷的形狀，并說明理由;

（3）探究:當(dāng)為多少度時(shí)，是等腰三角形.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）是直角三角形，理由見解析；（3）當(dāng)的度數(shù)為或或時(shí)，是等腰三角形.

【解析】

(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)得到∠OCD的度數(shù),根據(jù)等邊三角形的判定方法,即可證明.

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)的兩個三角形全等可得△BOC≌△ADC,利用全等三角形的性質(zhì)得到∠ADC=∠BOC=，再利用△COD是等邊三角形得∠ODC=60°，于是可計(jì)算出∠ADO的度數(shù)，再結(jié)合周角為360°，求出∠AOD的度數(shù),探究是否存在等腰直角三角形的情況，進(jìn)而判斷△AOD的形狀;

(3)需要分三種情況討論，即①要使AO=AD,需∠AOD=∠ADO;②要使OA=OD,需∠OAD=∠ADO;③要使OD=AD,需∠OAD=∠AOD;如對于①，∠AOD=190°-，∠ADO=-60°，再結(jié)合∠AOD=∠ADO建立的方程，求出的度數(shù)，同理可以計(jì)算其他兩種情況.

(1)證明:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:,

是等邊三角形;

(2)當(dāng)，即°時(shí)，

是直角三角形.理由如下:

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:

又是等邊三角形，

即是直角三角形;

(3)分三種情況:

①時(shí)，

;

②時(shí)，

;

③時(shí)，

.

綜上所述:當(dāng)的度數(shù)為或或時(shí)，是等腰三角形.