Question

5．如圖，拋物線C₁：y=x²+4x-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，將C₁向右平移得到C₂，C₂與x軸交于B、C兩點(diǎn)．
（1）求拋物線C₂的解析式．
（2）點(diǎn)D是拋物線C₂在x軸上方的圖象上一點(diǎn)，求S_△ABD的最大值．
（3）直線l過點(diǎn)A，且垂直于x軸，直線l沿x軸正方向向右平移的過程中，交C₁于點(diǎn)E交C₂于點(diǎn)F，當(dāng)線段EF=5時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先依據(jù)配方法求得拋物線C₁的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后令y=0，求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，從而可判斷出C₁平移的方向和距離，于是得到拋物線C₂的頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到C₂的解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象可知，當(dāng)點(diǎn)D為C₂的頂點(diǎn)時(shí)，△ABD的面積最大；
（3）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，-x²+4x-3），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，-x²+8x-15），然后可求得EF長度的解析式，最后根據(jù)EF=5，可列出關(guān)于x的方程，從而可求得x的值，于是的得到點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1，
∴拋物線C₁的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）．
令y=0，得-（x-2）2+1=0，解得：x₁=1，x₂=3．
∵C₂經(jīng)過B，
∴C₁向右平移了2個(gè)單位長度．
∵將拋物線向右平移兩個(gè)單位時(shí)，拋物線C₂的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，1），
∴C₂的解析式為y₂=-（x-4）²+1，即y=-x²+8x-15．
（2）根據(jù)函數(shù)圖象可知，當(dāng)點(diǎn)D為C₂的頂點(diǎn)時(shí)，縱坐標(biāo)最大，
即D（4，1）時(shí)，△ABD的面積最大．
S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•|y_D|=$\frac{1}{2}$×2×1=1．
（3）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，-x²+4x-3），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，-x²+8x-15）．
EF=|（-x²+4x-3）-（-x²+8x-15）|=|-4x+12|．
∵EF=5，
∴-4x+12=5或-4x+12=-5．
解得：x=$\frac{7}{4}$或x=$\frac{17}{4}$．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（$\frac{7}{4}$，$\frac{15}{16}$）或（$\frac{17}{4}$，-$\frac{65}{16}$）時(shí)，EF=5．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了配方法求得二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，拋物線的三種表達(dá)式，三角形的面積公式，列出EF的長與x的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．