Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
（1）求證：DE=AD+BE；
（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，其余條件不變，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，問DE，AD，BE的關(guān)系如何？

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由∠ACB=90°，得∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，則∠ADC=∠CEB=90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得Rt△ADC≌Rt△CEB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=DC+CE=BE+AD．
（2）根據(jù)等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得△ADC≌△CEB，得到AD=CE，DC=BE，所以DE=CE-CD=AD-BE．

解答：（1）證明：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE．
在△ADC和△CEB中，

∠ADC=∠CEB  ∠ACD=∠CBE  AC=BC

，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=DC+CE=BE+AD；
（2）DE=CE-CD=AD-BE．
理由如下：
在△ADC和△CEB中，

∠ADC=∠CEB=90° ∠ACD=∠CBE AC=CB

，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CE-CD=AD-BE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段所夾的角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了直角三角形全等的判定與性質(zhì)．