Question

9．如圖1，在正方形ABCD中，點E為BC上一點，連接DE，把△DEC沿DE折疊得到△DEF，延長EF交AB于G，連接
DG．
（1）求證：∠EDG=45°．
（2）如圖2，E為BC的中點，連接BF．①求證：BF∥DE；②若正方形邊長為6，求線段AG的長．
（3）當DE=DG時，求BE：CE．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，根據(jù)翻折前后兩個圖形能夠完全重合可得∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，再求出∠DFG=∠A，DA=DF，然后利用“HL”證明Rt△DGA和Rt△DGF全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠3=∠4，然后求出∠2+∠3=45°，從而得解；
（2）①根據(jù)折疊的性質(zhì)和線段中點的定義可得CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠5=∠DEC，然后利用同位角相等，兩直線平行證明即可；
②設AG=x，表示出GF、BG，根據(jù)點E是BC的中點求出BE、EF，從而得到GE的長度，再利用勾股定理列出方程求解即可；
（3）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得F是EG的中點，再利用“HL”證明Rt△ADG和Rt△CDE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AG=CE，再求出BG=BE，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得BF⊥GE，從而得到BE：EF的值，即為BE：EC．

解答 （1）證明：如圖1，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，
∵△DEC沿DE折疊得到△DEF，
∴∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，
∴∠DFG=∠A=90°，DA=DF，
在Rt△DGA和Rt△DGF中，$\left\{\begin{array}{l}{DG=DG}\\{DA=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△DGA≌Rt△DGF（HL），
∴∠3=∠4，
∴∠EDG=∠3+∠2=$\frac{1}{2}$∠ADF+$\frac{1}{2}$∠FDC，
=$\frac{1}{2}$（∠ADF+∠FDC），
=$\frac{1}{2}$×90°，
=45°；
（2）①證明：如圖2，

∵△DEC沿DE折疊得到△DEF，E為BC的中點，
∴CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，
∴∠5=∠6，
∵∠FEC=∠5+∠6
∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6，
∴2∠5=2∠DEC，
即∠5=∠DEC，
∴BF∥DE；
②解：設AG=x，則GF=x，BG=6-x，
∵正方形邊長為6，E為BC的中點，
∴CE=EF=BE=$\frac{1}{2}$×6=3，
∴GE=EF+GF=3+x，
在Rt△GBE中，根據(jù)勾股定理得：（6-x）²+3²=（3+x）²，
解得x=2，
即，線段AG的長為2；
（3）∵DE=DG，∠DFE=∠C=90°，
∴點F是EG的中點，
在Rt△ADG和Rt△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DG=DE}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADG≌Rt△CDE（HL），
∴AG=CE，
∴AB-AG=BC-CE，
即BG=BE，
∴△BEG是等腰直角三角形，
∴BF⊥GE，
∴BE：EF=$\sqrt{2}$，
即BE：EC=$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應用，翻折變換的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關鍵．