Question

【題目】如圖，點(diǎn)E，F分別在正方形ABCD的邊CD，BC上，且，點(diǎn)P在射線(xiàn)BC上（點(diǎn)P不與點(diǎn)F重合）．將線(xiàn)段EP繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線(xiàn)段EG，過(guò)點(diǎn)E作GD的垂線(xiàn)QH，垂足為點(diǎn)H，交射線(xiàn)BC于點(diǎn)Q．

（1）如圖1，若點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線(xiàn)段BF上，線(xiàn)段BP，QC，EC的數(shù)量關(guān)系為________．

（2）如圖2，若點(diǎn)E不是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線(xiàn)段BF上，判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立．若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，，，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段BP的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）成立，見(jiàn)解析；（3）線(xiàn)段BP的長(zhǎng)為3或5．

【解析】

（1）由ASA證明，得出，即可得出結(jié)論；

（2）由ASA證明，得出，即可得出結(jié)論；

（3）①當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BF上時(shí)，點(diǎn)Q在線(xiàn)段BC上，由（2）可知：，求出，，即可得出答案；

②當(dāng)點(diǎn)P在射線(xiàn)FC上時(shí)，點(diǎn)Q在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，同理可得：；即可得出答案．

（1）；理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴，，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，

∴，

∵，

∴，，

∴，

又∵，，

∴，

在和中，，

∴，

∴，

∴，

即；

故答案為：；

（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，理由如下：

由題意得：，，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴，，

∴，

∵，

∴，

在和中，，

∴，

∴，

∴，

即；

（3）分兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BF上時(shí)，點(diǎn)Q在線(xiàn)段BC上，

由（2）可知：，

∵，

∴，，

∴；

②當(dāng)點(diǎn)P在射線(xiàn)FC上時(shí)，點(diǎn)Q在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，如圖3所示：

同（2）可得：，

∴，

∵，，

∴，

∴；

綜上所述，線(xiàn)段BP的長(zhǎng)為3或5．