【題目】如圖,四邊形OABC是矩形,點A坐標為(20),點C坐標為(0,4).點P從點O出發(fā),沿OA以每秒1個單位長度的速度向點A運動,同時點Q從點A出發(fā),沿AB以每秒2個單位長度的速度向點B運動,當點P與點A重合時運動停止.設(shè)運動時間為t秒.

1)當CBQPAQ相似時,求出t的值;

2)當t=1時,拋物線y=2x2+bx+c經(jīng)過PQ兩點,與y軸交于點M,在該拋物線上找點D,使∠MQD=MPQ,求點D的坐標.

【答案】12

【解析】

1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得:∠B=∠PAQ90,所以當△CBQ與△PAQ相似時,存在兩種情況:①當△PAQ∽△QBC時,,②當△PAQ∽△CBQ時,,分別列方程可得t的值;

2)根據(jù)t1求拋物線的解析式,根據(jù)Q2,2),M0,2),可得MQx軸,則PMPQPEMQ,畫出符合條件的點D,利用三角函數(shù),列比例式可得點D的坐標,同理根據(jù)對稱可得另一個點D

1)如圖1,

∵當點P與點A重合時運動停止,且△PAQ可以構(gòu)成三角形,

0t2,

∵四邊形OABC是矩形,

∴∠B=∠PAQ90

∴當△CBQ與△PAQ相似時,存在兩種情況:

①當△PAQ∽△QBC時,

,

4t210t40,

4t2)(t2=0

t12(舍),t2

②當△PAQ∽△CBQ時,

,

t26t40

t,

2

t不符合題意,舍去,

綜上所述,當△CBQ與△PAQ相似時,t的值是;

3)當t1時,P1,0),Q22),

P1,0),Q2,2)代入拋物線y2x2bxc中得:

,解得:,

∴拋物線:y2x24x22x12,

∴頂點為P10),

Q22),M02),

MQx軸,

作拋物線對稱軸,交MQE,設(shè)DQy軸于H

PMPQ,PEMQ

∴∠MPE=∠QPEMPQ,

如圖2,∠MQDMPQ=∠QPE,

tanMQDtanQPE,

,MH1,

H0,3),Q2,2

設(shè)HQ的解析式為y=kx+b

H03),Q2,2)代入得,解得

y x3

,

解得:x12(舍),x2

D;

同理,在M的下方,y軸上存在點H,如圖3,使∠HQMMPQ=∠QPE,

由對稱性得:H0,1),

設(shè)HQ的解析式為y=px+q

H01),Q2,2)代入得,解得

yx1,

HQ的解析式:yx1,

解得:x12(舍),x2,

D;

綜上所述,點D的坐標為:D

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