Question

【題目】已知，如圖甲，在△ABC中，AE平分∠BAC（∠C＞∠B），F(xiàn)為AE上一點，且FD⊥BC于D．

（1）試說明：∠EFD=（∠C﹣∠B）；

（2）當(dāng)F在AE的延長線上時，如圖乙，其余條件不變，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）成立，證明見詳解.

【解析】

(1) 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義得到∠BAE=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠C）=90°﹣（∠B+∠C），然后根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可以得到∠FEC=∠B+∠BAE，求得∠FEC，再根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余即可求得結(jié)論；

(2)根據(jù)(1)可以得到∠AEC=90°+（∠B﹣∠C），根據(jù)對頂角相等即可求得∠DEF，然后利用直角三角形的兩個銳角互余即可求解.

解：（1）∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠C）

=90°﹣（∠B+∠C），

∵∠FEC=∠B+∠BAE，

則∠FEC=∠B+90°﹣（∠B+∠C）

=90°+（∠B﹣∠C），

∵FD⊥EC，

∴∠EFD=90°﹣∠FEC，

則∠EFD=90°﹣[90°+（∠B﹣∠C）]

=（∠C﹣∠B）；

（2）成立．

證明：同（1）可證：∠AEC=90°+（∠B﹣∠C），

∴∠DEF=∠AEC=90°+（∠B﹣∠C），

∴∠EFD=90°﹣[90°+（∠B﹣∠C）]

=（∠C﹣∠B）．